Упр.15.45 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. При каких значениях $$x$$ график заданной логарифмической функции расположен выше графика заданной линейной функции:
   а) $$y=\log_{2}(x),\quad y=-x+1$$;
   в) $$y=\log_{\frac{1}{7}}x,\quad y=7x$$;
   б) $$y=\log_{0,5}(x),\quad y=x-1$$;
   г) $$y=\log_{3}(x),\quad y=-3x$$?

Для каждой пары функций найдём точку пересечения и учтём, как ведут себя графики на промежутке $$(0;+\infty).$$

1. $$y=\log_2 x,\qquad y=-x+1.$$

   Обе функции равны при $$x=1,$$ так как

   $$\log_2 1=0,\qquad -1+1=0.$$

   Так как $$y=\log_2 x$$ возрастает, а $$y=-x+1$$ убывает, то выше расположен график логарифмической функции при

   $$x>1.$$

2. $$y=\log_{0,5} x,\qquad y=x-1.$$

   Точка пересечения: $$x=1,$$ поскольку

   $$\log_{0,5}1=0,\qquad 1-1=0.$$

   Функция $$y=\log_{0,5}x$$ убывает, а $$y=x-1$$ возрастает, значит график логарифмической функции выше при

   $$0<x<1.$$

3. $$y=\log_{1/7} x,\qquad y=7x.$$

   Они пересекаются при

   $$x=\frac17,$$

   так как

   $$\log_{1/7}\frac17=1,\qquad 7\cdot\frac17=1.$$

   Поскольку $$y=\log_{1/7}x$$ убывает, а $$y=7x$$ возрастает, то выше расположен график логарифмической функции при

   $$0<x<\frac17.$$

4. $$y=\log_3 x,\qquad y=-3x.$$

   Точка пересечения:

   $$x=\frac13,$$

   так как

   $$\log_3\frac13=-1,\qquad -3\cdot\frac13=-1.$$

   Функция $$y=\log_3x$$ возрастает, а $$y=-3x$$ убывает, значит график логарифмической функции выше при

   $$x>\frac13.$$

Ответ: а) $$x>1$$; б) $$0<x<1$$; в) $$0<x<\frac17$$; г) $$x>\frac13$$.