Упр.15.44 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Рассмотрим знак выражений под модулем:

$$\log_2 x-1=0 \iff x=2,$$
$$\log_2 x+1=0 \iff x=\frac12.$$

Тогда

$$y=|\log_2 x-1|+|\log_2 x+1|= \begin{cases} -(\log_2 x-1)-(\log_2 x+1), & x<\frac12,\\ (1-\log_2 x)+(\log_2 x+1), & \frac12\le x<2,\\ (\log_2 x-1)+(\log_2 x+1), & x\ge 2. \end{cases}$$

Получаем

$$y= \begin{cases} -2\log_2 x, & x<\frac12,\\ 2, & \frac12\le x<2,\\ 2\log_2 x, & x\ge 2. \end{cases}$$

График состоит из трёх частей: убывающей ветви $$y=-2\log_2 x$$ при $$x<\frac12$$, горизонтального отрезка $$y=2$$ при $$\frac12\le x<2$$ и возрастающей ветви $$y=2\log_2 x$$ при $$x\ge 2$$.

б) Аналогично, точки смены знака:

$$\log_3 x+1=0 \iff x=\frac13,$$
$$\log_3 x-1=0 \iff x=3.$$

Тогда

$$y=|\log_3 x+1|-|\log_3 x-1|= \begin{cases} -(\log_3 x+1)-\bigl(1-\log_3 x\bigr), & x<\frac13,\\ (\log_3 x+1)-\bigl(1-\log_3 x\bigr), & \frac13\le x<3,\\ (\log_3 x+1)-(\log_3 x-1), & x\ge 3. \end{cases}$$

Следовательно,

$$y= \begin{cases} -2, & x<\frac13,\\ 2\log_3 x, & \frac13\le x<3,\\ 2, & x\ge 3. \end{cases}$$

График состоит из горизонтальной прямой $$y=-2$$ при $$x<\frac13$$, затем ветви $$y=2\log_3 x$$ на промежутке $$\frac13\le x<3$$ и горизонтальной прямой $$y=2$$ при $$x\ge 3$$.

Ответ

а) $$y= \begin{cases} -2\log_2 x, & x<\frac12,\\ 2, & \frac12\le x<2,\\ 2\log_2 x, & x\ge 2; \end{cases}$$
б) $$y= \begin{cases} -2, & x<\frac13,\\ 2\log_3 x, & \frac13\le x<3,\\ 2, & x\ge 3. \end{cases}$$