Упр.15.42 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Постройте график функции: а) $$y=\log_2|x|$$; в) $$y=\log_{\frac{1}{3}}(1+|x|)$$; б) $$y=\left|\log_{\frac{1}{2}}(1+x)\right|$$; г) $$y=\left|\log_3(-x)\right|$$.

Подробный ответ

а) Построим график функции $$y=\log_2 x.$$ Затем отразим его относительно оси ординат, так как в аргументе стоит $$|x|$$. Получаем:

$$y=\log_2|x|,\qquad x\ne 0.$$

Область определения: $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

График симметричен относительно оси $$Oy$$, проходит через точки $$\left(1;0\right)$$ и $$\left(-1;0\right)$$, имеет вертикальную асимптоту $$x=0.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=\left|\log_{1/2}(1+x)\right|.$$

Сначала строим график $$y=\log_{1/2}(1+x)$$: это график $$y=\log_{1/2}x$$, сдвинутый на 1 единицу влево. Затем часть графика, лежащую ниже оси абсцисс, отражаем вверх относительно оси $$Ox$$.

Область определения: $$1+x>0,$$ то есть $$x>-1.$$

График проходит через точку $$\left(0;0\right)$$, а при $$x>0$$ имеет вид убывающей логарифмической кривой, отражённой вверх.

в) Для функции $$y=\log_{1/3}(1+|x|)$$ сначала строим график $$y=\log_{1/3}(1+x)$$, затем отражаем его относительно оси ординат, так как аргумент содержит $$|x|$$.

Область определения: $$1+|x|>0,$$ то есть $$x\in\mathbb{R}.$$

График симметричен относительно оси $$Oy$$, проходит через точку $$\left(0;0\right)$$ и при $$|x|$$ увеличивается убывает, так как основание $$\frac13<1.$$

г) Для функции $$y=\left|\log_3(-x)\right|$$ сначала строим график $$y=\log_3 x$$, отражаем его относительно оси ординат, получая $$y=\log_3(-x)$$, а затем часть графика ниже оси абсцисс отражаем вверх.

Область определения: $$-x>0,$$ то есть $$x<0.$$

График проходит через точку $$\left(-1;0\right)$$, имеет вертикальную асимптоту $$x=0$$ и расположен выше оси $$Ox.$$