Упр.15.41 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- Постройте и прочитайте график функции:
а) $$y=\begin{cases}-4x+4, & \text{если } x<1,\\ \log_2(x), & \text{если } x\geqslant1;\end{cases}$$
б) $$y=\begin{cases}-(x-4)^2, & \text{если } x<5,\\ \log_{0,2}(x), & \text{если } x\geqslant5;\end{cases}$$
в) $$y=\begin{cases}\log_2(x), & \text{если } 0
а) Для $$x<1$$ строим прямую $$y=-4x+4$$. Она проходит через точки $$\left(0;4\right)$$ и $$\left(1;0\right)$$, причём точка $$\left(1;0\right)$$ не входит в график этой части.
Для $$x\ge 1$$ строим график $$y=\log_2 x$$. Он проходит через точки $$\left(1;0\right)$$, $$\left(2;1\right)$$, $$\left(4;2\right)$$, $$\left(8;3\right)$$.
Итак, график функции состоит из луча прямой при $$x<1$$ и ветви логарифмической функции при $$x\ge 1$$.
$$D(f)=(-\infty;+\infty),\qquad E(f)=[0;+\infty).$$
Функция ни чётная, ни нечётная; возрастает на $$[1;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;1]$$; ограничена снизу, не ограничена сверху; $$y_{\min}=f(1)=0$$, наибольшего значения не имеет.
б) Для $$x<5$$ строим параболу $$y=-(x-4)^2$$. Её вершина $$\left(4;0\right)$$, а точки $$\left(1;-9\right)$$, $$\left(2;-4\right)$$, $$\left(3;-1\right)$$, $$\left(5;-1\right)$$ помогают построить график.
Для $$x\ge 5$$ строим график $$y=\log_{0,2}x$$. Он проходит через точки $$\left(5;-1\right)$$ и $$\left(25;-2\right)$$.
График функции состоит из ветви параболы при $$x<5$$ и ветви убывающего логарифма при $$x\ge 5$$.
$$D(f)=(-\infty;+\infty),\qquad E(f)=(-\infty;0].$$
Функция ни чётная, ни нечётная; возрастает на $$(-\infty;4]$$ и убывает на $$[4;+\infty)$$; ограничена сверху, не ограничена снизу; $$y_{\max}=f(4)=0$$, наименьшего значения не имеет.
в) Для $$0<x<2$$ строим график $$y=\log_2 x$$. Он проходит через точки $$\left(1;0\right)$$ и приближается к точке $$\left(2;1\right)$$, но эта точка не входит в график первой части.
Для $$x\ge 2$$ строим график $$y=\left(\dfrac12\right)^x$$. Он проходит через точки $$\left(2;\dfrac14\right)$$, $$\left(3;\dfrac18\right)$$. Точка $$\left(2;\dfrac14\right)$$ входит в график.
$$D(f)=(0;+\infty),\qquad E(f)=(-\infty;1).$$
Функция ни чётная, ни нечётная; возрастает на $$\left(0;2\right)$$ и убывает на $$[2;+\infty)$$; имеет вертикальную асимптоту $$x=0$$ и горизонтальную асимптоту $$y=0$$ при $$x\to+\infty$$.
г) Для $$x<0$$ строим гиперболу $$y=\dfrac1x$$. Для $$x>0$$ строим график $$y=\log_{\sqrt2}x$$. Он проходит через точки $$\left(1;0\right)$$, $$\left(2;2\right)$$, $$\left(4;4\right)$$, $$\left(8;6\right)$$.
$$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty),\qquad E(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция ни чётная, ни нечётная; убывает на $$(-\infty;0)$$ и возрастает на $$\left(0;+\infty\right)$$; имеет вертикальную асимптоту $$x=0$$.
Ответ: графики построены; свойства функций указаны выше.
