Упр.15.40 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}-3x+3, & \text{если } x\leq 1,\\ \log_{\frac{1}{3}}(x), & \text{если } x>1.\end{cases}$$

1. Вычислите $$f(8),\ f(-6),\ f(0),\ f(3),\ f(9)$$.
2. Постройте и прочитайте график функции.

$$f(x)=\begin{cases}-3x+3, & x\le 1,\\ \log_{\frac13}x, & x>1.\end{cases}$$

а)

Так как $$-8,\,-6,\,0\le 1,$$ используем формулу $$f(x)=-3x+3.$$

$$f(-8)=-3\cdot(-8)+3=24+3=27,$$
$$f(-6)=-3\cdot(-6)+3=18+3=21,$$
$$f(0)=-3\cdot 0+3=3.$$

Так как $$3>1$$ и $$9>1,$$ используем формулу $$f(x)=\log_{\frac13}x.$$

$$f(3)=\log_{\frac13}3=\log_{\frac13}\left(\left(\frac13\right)^{-1}\right)=-1,$$
$$f(9)=\log_{\frac13}9=\log_{\frac13}\left(\left(\frac13\right)^{-2}\right)=-2.$$

б)

График функции состоит из двух частей:

• при $$x\le 1$$ — прямая $$y=-3x+3$$;
• при $$x>1$$ — график логарифмической функции $$y=\log_{\frac13}x.$$

Для построения отметим несколько точек:

для прямой $$y=-3x+3$$: $$(0;3),\ (1;0);$$
для логарифмической части $$y=\log_{\frac13}x$$: $$(1;0),\ (3;-1),\ (9;-2).$$

Обе части соединяются в точке $$(1;0).$$

в)

Из графика получаем:

• $$D(f)=(-\infty;+\infty);$$
• $$E(f)=(-\infty;+\infty);$$
• функция ни чётная, ни нечётная;
• убывает на всей числовой прямой;
• не ограничена ни сверху, ни снизу;
• $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}$$ не существует;
• непрерывна на всей области определения;
• дифференцируема при $$x\ne 1.$$

Ответ: $$f(-8)=27,\ f(-6)=21,\ f(0)=3,\ f(3)=-1,\ f(9)=-2.$$