Упр.15.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$\log_9(x)\leq -1$$; в) $$\log_5(x)\geq -2$$; б) $$\log_{\frac{1}{3}}(x)<-4$$; г) $$\log_{0{,}2}(x)>-3$$.

Используем свойство логарифмической функции: при основании $$a>1$$ знак неравенства сохраняется, а при $$0<a<1$$ — меняется на противоположный.

Ход решения

1. $$\log_9 x \le -1$$
   
   Так как $$9>1$$, получаем:
   $$x \le 9^{-1}=\frac{1}{9}.$$
   С учётом области определения $$x>0$$:
   $$x \in \left(0;\frac{1}{9}\right].$$
2. $$\log_{\frac13} x < -4$$
   
   Так как $$0<\frac13<1$$, знак неравенства меняется:
   $$x > \left(\frac13\right)^{-4}=81.$$
   Тогда
   $$x \in (81;+\infty).$$
3. $$\log_5 x \ge -2$$
   
   Так как $$5>1$$, знак неравенства сохраняется:
   $$x \ge 5^{-2}=\frac{1}{25}.$$
   С учётом $$x>0$$:
   $$x \in \left[\frac{1}{25};+\infty\right).$$
4. $$\log_{0,2} x > -3$$
   
   Так как $$0<0,2<1$$, знак неравенства меняется:
   $$x < 0,2^{-3}=\left(\frac15\right)^{-3}=125.$$
   С учётом $$x>0$$:
   $$x \in (0;125).$$

Ответ

а) $$x \in \left(0;\frac{1}{9}\right]$$; б) $$x \in (81;+\infty)$$; в) $$x \in \left[\frac{1}{25};+\infty\right)$$; г) $$x \in (0;125)$$.