Упр.15.28 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

а) $$y=\log_{2}(x^2+128)$$;
в) $$y=\log_{3}(x^2-4x+13)$$;
б) $$y=\log_{\frac{1}{2}}(32-x^2)$$;
г) $$y=\log_{0,2}\left(5\sqrt[4]{125}-x^2\right)$$.

Подробный ответ

Найдём область значений каждой функции, учитывая монотонность логарифма и экстремум выражения под знаком логарифма.

$$y=\log_2(x^2+128)$$
Так как $$2>1,$$ функция $$y=\log_2 t$$ возрастает. Минимум аргумента:
$$x^2+128\ge 128,$$
причём при $$x=0$$ получаем $$t_{\min}=128.$$ Тогда
$$y_{\min}=\log_2 128=7.$$
Следовательно, $$E(y)=[7;+\infty).$$
$$y=\log_{\frac12}(32-x^2)$$
Так как $$0<\frac12<1,$$ функция $$y=\log_{\frac12} t$$ убывает. Максимум аргумента:
$$32-x^2\le 32,$$
причём при $$x=0$$ получаем $$t_{\max}=32.$$ Тогда
$$y_{\min}=\log_{\frac12} 32=\log_{\frac12} 2^5=-5.$$
Следовательно, $$E(y)=[-5;+\infty).$$
$$y=\log_3(x^2-4x+13)$$
Так как $$3>1,$$ функция $$y=\log_3 t$$ возрастает. Найдём минимум квадратичного выражения:
$$x^2-4x+13=(x-2)^2+9\ge 9,$$
причём при $$x=2$$ получаем $$t_{\min}=9.$$ Тогда
$$y_{\min}=\log_3 9=2.$$
Следовательно, $$E(y)=[2;+\infty).$$
$$y=\log_{0,2}\!\left(5\sqrt[4]{125}-x^2\right)$$
Так как $$0<0,2<1,$$ функция $$y=\log_{0,2} t$$ убывает. Максимум аргумента:
$$5\sqrt[4]{125}-x^2\le 5\sqrt[4]{125},$$
причём при $$x=0$$ получаем $$t_{\max}=5\sqrt[4]{125}.$$ Тогда
$$y_{\min}=\log_{0,2}\!\left(5\sqrt[4]{125}\right).$$
Преобразуем:
$$5\sqrt[4]{125}=5\cdot 5^{3/4}=5^{7/4},$$
$$\log_{0,2}\!\left(5^{7/4}\right)=\log_{1/5}\!\left(5^{7/4}\right)=-\frac{7}{4}.$$
Следовательно, $$E(y)=\left[-\frac{7}{4};+\infty\right).$$