Упр.15.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$y=\log_{\frac{1}{\pi}}(x^2+\pi)$$; в) $$y=\log_{0,1}(x^2+1)$$; б) $$\log_{0,3}(x^2-4x+5)$$; г) $$y=\log_{\frac{1}{3}}(x^2-18x+90)$$.
Для логарифмической функции $$y=\log_a t$$ при $$0<a<1$$ она убывает, поэтому наибольшее значение достигается при наименьшем значении аргумента.
$$y=\log_{\frac{1}{\pi}}(x^2+\pi)$$
Так как $$x^2\ge 0,$$ то
$$x^2+\pi\ge \pi.$$
Минимум аргумента равен $$\pi$$ при $$x=0$$. Тогда
$$y_{\max}=\log_{\frac{1}{\pi}}\pi=-1.$$
Следовательно, $$E(y)=(-\infty;\,-1].$$
$$y=\log_{0,3}(x^2-4x+5)$$
Приведём квадратный трёхчлен к виду полного квадрата:
$$x^2-4x+5=(x-2)^2+1\ge 1.$$
Минимум аргумента равен $$1$$ при $$x=2$$. Тогда
$$y_{\max}=\log_{0,3}1=0.$$
Следовательно, $$E(y)=(-\infty;\,0].$$
$$y=\log_{0,1}(x^2+1)$$
Так как $$x^2\ge 0,$$ то
$$x^2+1\ge 1.$$
Минимум аргумента равен $$1$$ при $$x=0$$. Тогда
$$y_{\max}=\log_{0,1}1=0.$$
Следовательно, $$E(y)=(-\infty;\,0].$$
$$y=\log_{\frac{1}{3}}(x^2-18x+90)$$
Приведём выражение под логарифмом к квадрату:
$$x^2-18x+90=(x-9)^2+9\ge 9.$$
Минимум аргумента равен $$9$$ при $$x=9$$. Тогда
$$y_{\max}=\log_{\frac{1}{3}}9=\log_{\frac{1}{3}}3^2=-2.$$
Следовательно, $$E(y)=(-\infty;\,-2].$$
Ответ: а) $$(-\infty;\,-1]$$; б) $$(-\infty;\,0]$$; в) $$(-\infty;\,0]$$; г) $$(-\infty;\,-2]$$.
