Упр.15.24 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 15.24. Найдите область значений функции:
   а) $$y=\log_3(x+1)$$;
   в) $$y=\log_2(x)-4$$;
   б) $$y=\log_{0,1}(2x+4)$$;
   г) $$y=\log_{0,5}(-x)+10$$.

Для любой логарифмической функции вида $$y=\log_a t$$, где $$a>0$$, $$a\ne 1$$, область значений — все действительные числа, если выражение $$t$$ принимает любые положительные значения.

1. $$y=\log_3(x+1)$$

   Пусть $$t=x+1$$. Тогда при $$x>-1$$ имеем $$t>0$$, а логарифм может принимать любые действительные значения.

   $$E(y)=(-\infty;+\infty).$$

2. $$y=\log_{0,1}(2x+4)$$

   Пусть $$t=2x+4$$. При $$x>-2$$ имеем $$t>0$$, и снова логарифм принимает любые действительные значения.

   $$E(y)=(-\infty;+\infty).$$

3. $$y=\log_2 x-4$$

   Функция $$\log_2 x$$ имеет область значений $$(-\infty;+\infty)$$, а вычитание числа $$4$$ лишь сдвигает график вниз, не изменяя область значений.

   $$E(y)=(-\infty;+\infty).$$

4. $$y=\log_{0,5}(-x)+10$$

   Пусть $$t=-x$$. Тогда при $$x<0$$ имеем $$t>0$$, а логарифм принимает любые действительные значения. Прибавление $$10$$ не меняет область значений.

   $$E(y)=(-\infty;+\infty).$$

Ответ: во всех пунктах $$E(y)=(-\infty;+\infty).$$