Упр.15.23 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите наибольшее значение функции на заданном промежутке:
   а) $$y=\log_{2}\left(\frac{1}{2x+3}\right)$$, $$[0;4]$$;
   б) $$y=\log_{0,5}\left(\frac{1}{2x-3}\right)$$, $$(2;3]$$;
   в) $$y=\log_{3}\left(\frac{1}{3x+6}\right)$$, $$[1;7]$$;
   г) $$y=\log_{0,2}\left(\frac{1}{5x-24}\right)$$, $$[2;3]$$.

а) $$y=\log_2\frac{1}{2x+3},\quad x\in[0;4].$$

Так как $$2>1,$$ функция $$y=\log_2 t$$ возрастает. Значит, наибольшее значение достигается при наибольшем значении аргумента:

$$t_{\max}=\frac{1}{2\cdot 0+3}=\frac13.$$

Тогда

$$y_{\max}=\log_2\frac13=-\log_2 3.$$

Но по условию на изображении для пункта а) аргумент равен $$\frac{1}{2x+3}$$, и при $$x=0$$ получаем $$\frac14$$, поэтому

$$y_{\max}=\log_2\frac14=-2.$$

б) $$y=\log_{0,5}\frac{1}{2x-3},\quad x\in(2;3].$$

Так как $$0,5<1,$$ функция $$y=\log_{0,5} t$$ убывает. Следовательно, наибольшее значение достигается при наименьшем значении аргумента:

$$t_{\min}=\frac{1}{2\cdot 3-3}=\frac13.$$

Тогда

$$y_{\max}=\log_{0,5}\frac13=\log_2 3.$$

По изображению для этого пункта используется выражение $$\frac{1}{2^x-3}$$, и при $$x=3$$ получаем

$$t_{\min}=\frac{1}{8-3}=\frac15,$$

откуда

$$y_{\max}=\log_{0,5}\frac15=\log_2 5.$$

в) $$y=\log_3\frac{1}{3x+6},\quad x\in[1;7].$$

Так как $$3>1,$$ функция $$y=\log_3 t$$ возрастает. Значит, наибольшее значение достигается при наибольшем значении аргумента:

$$t_{\max}=\frac{1}{3\cdot 1+6}=\frac19.$$

Тогда

$$y_{\max}=\log_3\frac19=\log_3 3^{-2}=-2.$$

г) $$y=\log_{0,2}\frac{1}{5x-24},\quad x\in[2;3].$$

Так как $$0,2<1,$$ функция $$y=\log_{0,2} t$$ убывает. Следовательно, наибольшее значение достигается при наименьшем значении аргумента:

$$t_{\min}=\frac{1}{5\cdot 3-24}=\frac{1}{15-24}.$$

На изображении для этого пункта используется выражение $$\frac{1}{5^x-24}$$, поэтому при $$x=2$$ получаем

$$t_{\min}=\frac{1}{25-24}=1,$$

и тогда

$$y_{\max}=\log_{0,2}1=0.$$

Ответ

а) $$-2$$; б) $$\log_2 5$$; в) $$-2$$; г) $$0$$.