Упр.15.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- Найдите наименьшее значение функции:
а) $$y=\log_2(x^2+128);$$
в) $$y=\log_3(x^2-4x+13);$$
б) $$y=\log_{\frac{1}{2}}(32-x^2);$$
г) $$y=\log_{0,2}\left(5\sqrt[4]{125}-x^2\right).$$
а) Рассмотрим функцию $$y=\log_2(x^2+128).$$
Так как $$2>1,$$ функция $$\log_2 t$$ возрастает. Значит, наименьшее значение $$y$$ достигается при наименьшем значении аргумента $$x^2+128.$$
Поскольку $$x^2\ge 0,$$ имеем
$$x^2+128\ge 128.$$
При $$x=0$$ получаем
$$y_{\min}=\log_2 128=\log_2 2^7=7.$$
б) Рассмотрим функцию $$y=\log_{\frac12}(32-x^2).$$
Так как $$0<\frac12<1,$$ функция $$\log_{\frac12} t$$ убывает. Значит, наименьшее значение $$y$$ достигается при наибольшем значении аргумента $$32-x^2.$$
Поскольку $$x^2\ge 0,$$ имеем
$$32-x^2\le 32.$$
При $$x=0$$ получаем
$$y_{\min}=\log_{\frac12} 32=\log_{\frac12} 2^5=-5.$$
в) Рассмотрим функцию $$y=\log_3(x^2-4x+13).$$
Так как $$3>1,$$ функция $$\log_3 t$$ возрастает. Значит, нужно найти наименьшее значение выражения $$x^2-4x+13.$$
Приведём квадратный трёхчлен к виду полного квадрата:
$$x^2-4x+13=(x-2)^2+9.$$
Так как $$\left(x-2\right)^2\ge 0,$$ то
$$x^2-4x+13\ge 9.$$
При $$x=2$$ получаем
$$y_{\min}=\log_3 9=\log_3 3^2=2.$$
г) Рассмотрим функцию $$y=\log_{0,2}\left(5\sqrt[4]{125}-x^2\right).$$
Так как $$0<0,2<1,$$ функция $$\log_{0,2} t$$ убывает. Значит, наименьшее значение $$y$$ достигается при наибольшем значении аргумента $$5\sqrt[4]{125}-x^2.$$
Поскольку $$x^2\ge 0,$$ имеем
$$5\sqrt[4]{125}-x^2\le 5\sqrt[4]{125}.$$
При $$x=0$$ получаем
$$y_{\min}=\log_{0,2}\left(5\sqrt[4]{125}\right).$$
Так как $$125=5^3,$$ то
$$5\sqrt[4]{125}=5\cdot 5^{3/4}=5^{7/4}.$$
Кроме того, $$0,2=\frac15,$$ значит
$$y_{\min}=\log_{\frac15} 5^{7/4}=\log_{\frac15}\left(\left(\frac15\right)^{-7/4}\right)=-\frac74.$$
Ответ
а) $$7$$; б) $$-5$$; в) $$2$$; г) $$-\frac74$$.
