Упр.15.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите наибольшее значение функции: а) $$y=\log_{\frac{1}{\pi}}(x^2+\pi)$$; в) $$y=\log_{0{,}1}(x^2+1)$$; б) $$y=\log_{0{,}3}(x^2-4x+5)$$; г) $$y=\log_{\frac{1}{3}}(x^2-18x+90)$$.

Функция вида $$y=\log_a t$$ при $$0<a<1$$ убывает, поэтому наибольшее значение достигается при наименьшем значении аргумента.

1. $$y=\log_{1/\pi}(x^2+\pi)$$

   Так как $$\frac{1}{\pi}<1,$$ функция убывает. Минимум выражения $$x^2+\pi$$ равен $$\pi$$ при $$x=0$$.

   Тогда

   $$y_{\max}=\log_{1/\pi}\pi=\log_{1/\pi}\left(\frac{1}{\pi}\right)^{-1}=-1.$$

2. $$y=\log_{0,3}(x^2-4x+5)$$

   Так как $$0<0,3<1,$$ функция убывает. Преобразуем аргумент:

   $$x^2-4x+5=(x-2)^2+1.$$

   Минимум равен $$1$$ при $$x=2$$. Значит,

   $$y_{\max}=\log_{0,3}1=0.$$

3. $$y=\log_{0,1}(x^2+1)$$

   Так как $$0<0,1<1,$$ функция убывает. Минимум выражения $$x^2+1$$ равен $$1$$ при $$x=0$$.

   Следовательно,

   $$y_{\max}=\log_{0,1}1=0.$$

4. $$y=\log_{1/3}(x^2-18x+90)$$

   Так как $$\frac13<1,$$ функция убывает. Преобразуем аргумент:

   $$x^2-18x+90=(x-9)^2+9.$$

   Минимум равен $$9$$ при $$x=9$$. Тогда

   $$y_{\max}=\log_{1/3}9=\log_{1/3}\left(\frac13\right)^{-2}=-2.$$

Ответ: а) $$-1$$; б) $$0$$; в) $$0$$; г) $$-2$$.