Упр.15.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) На каком промежутке функция $$y=\log_3(x)$$ принимает наибольшее значение, равное $$4$$, и наименьшее, равное $$-2$$?

б) На каком промежутке функция $$y=\log_{0,5}(x)$$ принимает наибольшее значение, равное $$-1$$, и наименьшее, равное $$-3$$?

а) Так как $$3>1,$$ функция $$y=\log_3 x$$ возрастает. Значит, наибольшее значение $$4$$ достигается при правом конце промежутка, а наименьшее значение $$-2$$ — при левом.

Найдём соответствующие значения $$x$$:

$$\log_3 x=4 \Rightarrow x=3^4=81,$$

$$\log_3 x=-2 \Rightarrow x=3^{-2}=\frac{1}{9}.$$

Следовательно, искомый промежуток:

$$x\in\left[\frac{1}{9};\,81\right].$$

б) Так как $$0{,}5<1,$$ функция $$y=\log_{0{,}5} x$$ убывает. Значит, наибольшее значение $$-1$$ соответствует левому концу промежутка, а наименьшее значение $$-3$$ — правому.

Найдём соответствующие значения $$x$$:

$$\log_{0{,}5} x=-1 \Rightarrow x=(0{,}5)^{-1}=2,$$

$$\log_{0{,}5} x=-3 \Rightarrow x=(0{,}5)^{-3}=8.$$

Следовательно, искомый промежуток:

$$x\in[2;\,8].$$

Ответ: а) $$x\in\left[\frac{1}{9};\,81\right]$$; б) $$x\in[2;\,8].$$