Упр.15.15 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\log_6\left(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{3}\right)\left(\sqrt[3]{81}+\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{9}\right)$$; б) $$\lg\left(\sqrt[3]{9}+1\right)\left(\sqrt[3]{81}-\sqrt[3]{9}+1\right)$$.

а) $$\log_6\left(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{3}\right)\left(\sqrt[3]{81}+\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{9}\right)$$

Преобразуем выражение под логарифмом:

$$\left(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{3}\right)\left(\sqrt[3]{81}+\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{9}\right)=\left(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{3}\right)\left(\sqrt[3]{9^2}+\sqrt[3]{9}\cdot\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{3^2}\right)$$

Это формула разности кубов:

$$a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3,$$

где $$a=\sqrt[3]{9},\quad b=\sqrt[3]{3}.$$ Тогда

$$\left(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{3}\right)\left(\sqrt[3]{81}+\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{9}\right)=9-3=6.$$

Следовательно,

$$\log_6 6=1.$$

б) $$\lg\left(\sqrt[3]{9}+1\right)\left(\sqrt[3]{81}-\sqrt[3]{9}+1\right)$$

Снова используем формулу суммы кубов:

$$\left(\sqrt[3]{9}+1\right)\left(\sqrt[3]{81}-\sqrt[3]{9}+1\right)=\left(\sqrt[3]{9}+1\right)\left(\left(\sqrt[3]{9}\right)^2-\sqrt[3]{9}\cdot 1+1^2\right).$$

Тогда

$$\left(\sqrt[3]{9}+1\right)\left(\sqrt[3]{81}-\sqrt[3]{9}+1\right)=9+1=10.$$

Значит,

$$\lg 10=1.$$

Ответ: а) $$1$$; б) $$1$$.