Упр.15.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 11. а) $$y=\log_5(x),\ \left[\frac{1}{125};25\right]$$; б) $$y=\log_{\frac{4}{5}}(x),\ \left[\frac{16}{25};\frac{26}{16}\right]$$; в) $$y=\log_6(x),\ \left[\frac{1}{216};36\right]$$; г) $$y=\log_{\frac{2}{7}}(x),\ \left[\frac{8}{343};\frac{343}{8}\right]$$.

Для логарифмической функции значение на отрезке достигается на концах отрезка: при основании больше $$1$$ функция возрастает, при основании от $$0$$ до $$1$$ — убывает.

1. $$y=\log_5 x,\quad \left[\frac{1}{125};\,25\right]$$

   Так как $$5>1,$$ функция возрастает. Тогда

   $$y\left(\frac{1}{125}\right)=\log_5\frac{1}{125}=\log_5 5^{-3}=-3,$$

   $$y(25)=\log_5 25=\log_5 5^2=2.$$

   Ответ: $$y_{\min}=-3,\quad y_{\max}=2.$$

2. $$y=\log_{\frac45} x,\quad \left[\frac{16}{25};\,\frac{25}{16}\right]$$

   Так как $$0<\frac45<1,$$ функция убывает. Тогда

   $$y\left(\frac{16}{25}\right)=\log_{\frac45}\frac{16}{25}=\log_{\frac45}\left(\frac45\right)^2=2,$$

   $$y\left(\frac{25}{16}\right)=\log_{\frac45}\frac{25}{16}=\log_{\frac45}\left(\frac45\right)^{-2}=-2.$$

   Ответ: $$y_{\min}=-2,\quad y_{\max}=2.$$

3. $$y=\log_6 x,\quad \left[\frac{1}{216};\,36\right]$$

   Так как $$6>1,$$ функция возрастает. Тогда

   $$y\left(\frac{1}{216}\right)=\log_6\frac{1}{216}=\log_6 6^{-3}=-3,$$

   $$y(36)=\log_6 36=\log_6 6^2=2.$$

   Ответ: $$y_{\min}=-3,\quad y_{\max}=2.$$

4. $$y=\log_{\frac27} x,\quad \left[\frac{8}{343};\,\frac{343}{8}\right]$$

   Так как $$0<\frac27<1,$$ функция убывает. Тогда

   $$y\left(\frac{8}{343}\right)=\log_{\frac27}\frac{8}{343}=\log_{\frac27}\left(\frac27\right)^3=3,$$

   $$y\left(\frac{343}{8}\right)=\log_{\frac27}\frac{343}{8}=\log_{\frac27}\left(\frac27\right)^{-3}=-3.$$

   Ответ: $$y_{\min}=-3,\quad y_{\max}=3.$$