Упр.15.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 15.18. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке: а) $$y=\log_3(x),\ [\frac{1}{3};9]$$; в) $$y=\lg(x),\ [1;1000]$$; б) $$y=\log_{\frac{1}{2}}(x),\ [\frac{1}{8};16]$$; г) $$y=\log_{\frac{2}{3}}(x),\ [\frac{8}{27};\frac{81}{16}]$$.

Для логарифмической функции значение на отрезке достигается на концах отрезка. Нужно лишь учесть, возрастает функция или убывает.

1. $$y=\log_3 x,\quad \left[\frac13;9\right]$$

   Так как $$3>1,$$ функция возрастает. Тогда

   $$y\left(\frac13\right)=\log_3 \frac13=\log_3 3^{-1}=-1,$$

   $$y(9)=\log_3 9=\log_3 3^2=2.$$

   Ответ: $$y_{\min}=-1,\quad y_{\max}=2.$$

2. $$y=\log_{\frac12} x,\quad \left[\frac18;16\right]$$

   Так как $$0<\frac12<1,$$ функция убывает. Тогда

   $$y\left(\frac18\right)=\log_{\frac12}\frac18=\log_{\frac12}\left(\frac12\right)^3=3,$$

   $$y(16)=\log_{\frac12}16=\log_{\frac12}\left(\frac12\right)^{-4}=-4.$$

   Ответ: $$y_{\min}=-4,\quad y_{\max}=3.$$

3. $$y=\lg x,\quad [1;1000]$$

   Так как $$10>1,$$ функция возрастает. Тогда

   $$y(1)=\lg 1=\lg 10^0=0,$$

   $$y(1000)=\lg 1000=\lg 10^3=3.$$

   Ответ: $$y_{\min}=0,\quad y_{\max}=3.$$

4. $$y=\log_{\frac23} x,\quad \left[\frac{8}{27};\frac{81}{16}\right]$$

   Так как $$0<\frac23<1,$$ функция убывает. Тогда

   $$y\left(\frac{8}{27}\right)=\log_{\frac23}\frac{8}{27}=\log_{\frac23}\left(\frac23\right)^3=3,$$

   $$y\left(\frac{81}{16}\right)=\log_{\frac23}\frac{81}{16}=\log_{\frac23}\left(\frac23\right)^{-4}=-4.$$

   Ответ: $$y_{\min}=-4,\quad y_{\max}=3.$$