Упр.15.11 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Дано: $$f(x)=\log_{\frac{1}{3}}(x)$$. Докажите, что выполняются следующие соотношения: а) $$f\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{2x+1}\right)=2x+1$$; б) $$f\left(\left(\frac{1}{9}\right)^x\right)-f\left(\left(\frac{1}{27}\right)^{x-1}\right)=3-x$$.

Пусть $$f(x)=\log_{\frac13}x.$$ Используем свойство логарифма: $$\log_a(a^t)=t.$$

Ход решения

1. Докажем равенство

   $$f\!\left(\left(\frac13\right)^{2x+1}\right)=2x+1.$$

   Тогда

   $$f\!\left(\left(\frac13\right)^{2x+1}\right)=\log_{\frac13}\left(\left(\frac13\right)^{2x+1}\right)=2x+1.$$

2. Докажем равенство

   $$f\!\left(\left(\frac19\right)^x\right)-f\!\left(\left(\frac1{27}\right)^{x-1}\right)=3-x.$$

   Преобразуем основания к степени числа $$\frac13$$:

   $$\left(\frac19\right)^x=\left(\left(\frac13\right)^2\right)^x=\left(\frac13\right)^{2x},$$

   $$\left(\frac1{27}\right)^{x-1}=\left(\left(\frac13\right)^3\right)^{x-1}=\left(\frac13\right)^{3x-3}.$$

   Тогда

   $$f\!\left(\left(\frac19\right)^x\right)=\log_{\frac13}\left(\left(\frac13\right)^{2x}\right)=2x,$$

   $$f\!\left(\left(\frac1{27}\right)^{x-1}\right)=\log_{\frac13}\left(\left(\frac13\right)^{3x-3}\right)=3x-3.$$

   Следовательно,

   $$f\!\left(\left(\frac19\right)^x\right)-f\!\left(\left(\frac1{27}\right)^{x-1}\right)=2x-(3x-3)=3-x.$$

Ответ

$$f\!\left(\left(\frac13\right)^{2x+1}\right)=2x+1,\qquad f\!\left(\left(\frac19\right)^x\right)-f\!\left(\left(\frac1{27}\right)^{x-1}\right)=3-x.$$