Упр.15.10 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Дано: $$f(x)=\log_2(x)$$. Докажите, что выполняется следующее соотношение: а) $$f(2x)=x$$; б) $$f(4x)+f(8x)=5x$$.

Пусть $$f(x)=\log_2 x.$$ Тогда:

а)

$$f(2^x)=\log_2 2^x=x.$$

Что и требовалось доказать.

б)

$$f(4^x)+f(8^x)=\log_2 4^x+\log_2 8^x.$$

Так как $$4^x=(2^2)^x=2^{2x},$$ а $$8^x=(2^3)^x=2^{3x},$$ то

$$\log_2 4^x=\log_2 2^{2x}=2x,$$

$$\log_2 8^x=\log_2 2^{3x}=3x.$$

Следовательно,

$$f(4^x)+f(8^x)=2x+3x=5x.$$

Что и требовалось доказать.