Упр.14.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение с параметром $$a$$:
   а) $$4^x-2^x+a=a\cdot2^x$$;
   б) $$9^x-(2a+1)\cdot3^x+a^2+a-2=0$$.

а) $$4^x-2^x+a=a\cdot 2^x.$$

Положим $$y=2^x,$$ тогда $$4^x=(2^x)^2=y^2.$$ Получаем:

$$y^2-(a+1)y+a=0.$$

Дискриминант:

$$D=(a+1)^2-4a=a^2-2a+1=(a-1)^2.$$

Тогда

$$y_{1,2}=\frac{(a+1)\pm(a-1)}{2},$$

откуда

$$y_1=1,\qquad y_2=a.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$2^x=1 \Rightarrow x=0,$$

$$2^x=a \Rightarrow x=\log_2 a.$$

Так как $$2^x>0,$$ то второе решение существует только при $$a>0.$$ При $$a=1$$ оба корня совпадают.

Итак,

$$x=0,\ \text{если } a\le 0;$$

$$x=0,\ x=\log_2 a,\ \text{если } a>0.$$

б) $$9^x-(2a+1)\cdot 3^x+a^2+a-2=0.$$

Положим $$y=3^x,$$ тогда $$9^x=(3^x)^2=y^2.$$ Получаем:

$$y^2-(2a+1)y+(a^2+a-2)=0.$$

Дискриминант:

$$D=(2a+1)^2-4(a^2+a-2)=9.$$

Тогда

$$y_{1,2}=\frac{(2a+1)\pm 3}{2},$$

откуда

$$y_1=a-1,\qquad y_2=a+2.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$3^x=a-1 \Rightarrow x=\log_3(a-1),$$

$$3^x=a+2 \Rightarrow x=\log_3(a+2).$$

Так как $$3^x>0,$$ то:

• при $$a\le -2$$ решений нет;
• при $$-2<a\le 1$$ подходит только $$x=\log_3(a+2);$$
• при $$a>1$$ оба решения существуют: $$x=\log_3(a+2)$$ и $$x=\log_3(a-1).$$

Ответ

а) $$x=0,\ \text{если } a\le 0;\quad x=0,\ x=\log_2 a,\ \text{если } a>0.$$

б) $$x\in\varnothing,\ \text{если } a\le -2;\quad x=\log_3(a+2),\ \text{если } -2<a\le 1;\quad x=\log_3(a+2),\ x=\log_3(a-1),\ \text{если } a>1.$$