Упр.14.29 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$4^x-5\cdot2^x\ge -6$$;
б) $$16^x\le 6\cdot4^x-5$$;
в) $$9^x-7\cdot3^x<-12$$;
г) $$9\cdot7^x+14>-49^x$$.
а) $$4^x-5\cdot 2^x\ge -6$$
$$2^{2x}-5\cdot 2^x+6\ge 0$$
Пусть $$y=2^x,$$ тогда $$y>0$$ и
$$y^2-5y+6\ge 0$$
$$\left(y-2\right)\left(y-3\right)\ge 0$$
Отсюда $$y\le 2$$ или $$y\ge 3.$$
Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:
$$2^x\le 2 \Rightarrow x\le 1,$$
$$2^x\ge 3 \Rightarrow x\ge \log_2 3.$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;1]\cup[\log_2 3;+\infty).$$
б) $$16^x\le 6\cdot 4^x-5$$
$$4^{2x}-6\cdot 4^x+5\le 0$$
Пусть $$y=4^x,$$ тогда $$y>0$$ и
$$y^2-6y+5\le 0$$
$$\left(y-1\right)\left(y-5\right)\le 0$$
Отсюда $$1\le y\le 5.$$
Значит,
$$4^x\ge 1 \Rightarrow x\ge 0,$$
$$4^x\le 5 \Rightarrow x\le \log_4 5.$$
Итак,
$$x\in[0;\log_4 5].$$
в) $$9^x-7\cdot 3^x<-12$$
$$3^{2x}-7\cdot 3^x+12<0$$
Пусть $$y=3^x,$$ тогда $$y>0$$ и
$$y^2-7y+12<0$$
$$\left(y-3\right)\left(y-4\right)<0$$
Отсюда $$3<y<4.$$
Следовательно,
$$3^x>3 \Rightarrow x>1,$$
$$3^x<4 \Rightarrow x<\log_3 4.$$
Значит,
$$x\in(1;\log_3 4).$$
г) $$9\cdot 7^x+14>-49^x$$
$$49^x+9\cdot 7^x+14>0$$
Пусть $$y=7^x,$$ тогда $$y>0$$ и $$49^x=7^{2x}=y^2.$$ Получаем:
$$y^2+9y+14>0$$
$$\left(y+7\right)\left(y+2\right)>0$$
Так как $$y>0,$$ то выражение $$\left(y+7\right)\left(y+2\right)$$ всегда положительно. Следовательно, неравенство верно при любых $$x.$$
$$x\in(-\infty;+\infty).$$
Ответ
а) $$(-\infty;1]\cup[\log_2 3;+\infty)$$; б) $$[0;\log_4 5]$$; в) $$(1;\log_3 4)$$; г) $$(-\infty;+\infty)$$.
