Упр.14.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 14.27. Решите неравенство:
   а) $$2x \geq 9$$;
   б) $$12x \leq 7$$;
   в) $$\frac{1}{3}x < 4$$;
   г) $$0{,}2x > 5$$.

Решим неравенства, используя свойства показательной функции.

1. $$2^x \ge 9$$

   Так как основание $$2>1$$, функция $$2^x$$ возрастает, поэтому можно перейти к логарифму:

   $$x \ge \log_2 9$$

   Ответ: $$x \in [\log_2 9;\,+\infty)$$.

2. $$12^x \le 7$$

   Так как основание $$12>1$$, функция $$12^x$$ возрастает, значит:

   $$x \le \log_{12} 7$$

   Ответ: $$x \in (-\infty;\,\log_{12} 7]$$.

3. $$\left(\frac{1}{3}\right)^x < 4$$

   Представим левую часть как степень с основанием $$3$$:

   $$\left(\frac{1}{3}\right)^x = 3^{-x}$$

   Тогда

   $$3^{-x} < 4$$

   Так как основание $$3>1$$, получаем:

   $$-x < \log_3 4$$

   $$x > -\log_3 4$$

   Ответ: $$x \in (-\log_3 4;\,+\infty)$$.

4. $$\left(0{,}2\right)^x > 5$$

   Заметим, что $$0{,}2=\frac{1}{5}$$, тогда

   $$\left(\frac{1}{5}\right)^x > 5 = \left(\frac{1}{5}\right)^{-1}$$

   Так как основание $$\frac{1}{5}<1$$, функция убывает, поэтому знак неравенства меняется:

   $$x < -1$$

   Ответ: $$x \in (-\infty;\,-1)$$.