Упр.14.26 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$9(x+1)+6=189*3(x-2)$$
б) $$25(x+1))+3=100*5(x-1)$$
в) $$4(x+1)+5=24*2(x-1)$$
г) $$\frac{1}{4}(x+1)+3=\frac{1}{2}(x-1)$$
а) $$9^{x+1}+6=189\cdot 3^{x-2}$$
$$9\cdot 9^x-189\cdot \frac{1}{9}\cdot 3^x+6=0$$
$$9\cdot 3^{2x}-21\cdot 3^x+6=0$$
Пусть $$y=3^x$$, тогда
$$9y^2-21y+6=0$$
$$3y^2-7y+2=0$$
$$D=7^2-4\cdot 3\cdot 2=49-24=25$$
$$y_1=\frac{7-5}{2\cdot 3}=\frac13,\qquad y_2=\frac{7+5}{2\cdot 3}=2$$
Тогда:
$$3^x=\frac13 \Rightarrow x=-1$$
$$3^x=2 \Rightarrow x=\log_3 2$$
Ответ: $$-1;\ \log_3 2$$
б) $$25^{x+1}+3=100\cdot 5^{x-1}$$
$$25\cdot 25^x-100\cdot \frac15\cdot 5^x+3=0$$
$$25\cdot 5^{2x}-20\cdot 5^x+3=0$$
Пусть $$y=5^x$$, тогда
$$25y^2-20y+3=0$$
$$D=20^2-4\cdot 25\cdot 3=400-300=100$$
$$y_1=\frac{20-10}{2\cdot 25}=\frac15,\qquad y_2=\frac{20+10}{2\cdot 25}=\frac35$$
Тогда:
$$5^x=\frac15 \Rightarrow x=-1$$
$$5^x=\frac35 \Rightarrow 5^{x+1}=3 \Rightarrow x=\log_5 3-1$$
Ответ: $$-1;\ \log_5 3-1$$
в) $$4^{x+1}+5=24\cdot 2^{x-1}$$
$$4\cdot 4^x-24\cdot \frac12\cdot 2^x+5=0$$
$$4\cdot 2^{2x}-12\cdot 2^x+5=0$$
Пусть $$y=2^x$$, тогда
$$4y^2-12y+5=0$$
$$D=12^2-4\cdot 4\cdot 5=144-80=64$$
$$y_1=\frac{12-8}{2\cdot 4}=\frac12,\qquad y_2=\frac{12+8}{2\cdot 4}=\frac52$$
Тогда:
$$2^x=\frac12 \Rightarrow x=-1$$
$$2^x=\frac52 \Rightarrow 2^{x+1}=5 \Rightarrow x=\log_2 5-1$$
Ответ: $$-1;\ \log_2 5-1$$
г) $$\left(\frac14\right)^{x+1}+3=\left(\frac12\right)^{x-1}$$
$$\frac14\left(\frac14\right)^x-2\left(\frac12\right)^x+3=0$$
$$\left(\frac12\right)^{2x}-8\left(\frac12\right)^x+12=0$$
Пусть $$y=\left(\frac12\right)^x$$, тогда
$$y^2-8y+12=0$$
$$D=8^2-4\cdot 12=64-48=16$$
$$y_1=\frac{8-4}{2}=2,\qquad y_2=\frac{8+4}{2}=6$$
Тогда:
$$\left(\frac12\right)^x=2 \Rightarrow x=-1$$
$$\left(\frac12\right)^x=6 \Rightarrow 2^{-x}=6 \Rightarrow -x=\log_2 6 \Rightarrow x=-\log_2 6$$
Ответ: $$-1;\ -\log_2 6$$
