Упр.13.9 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\sqrt{2^{-1}}\cdot\sqrt{2(x^2-7{,}5)}\ge 2^{-7}$$;
   б) $$0{,}9^{x^2-4x}<\left(\frac{10}{9}\right)^3$$;
   в) $$14^{x^2+x}\le 196$$;
   г) $$\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{3x^2-13x}>9$$.

а) $$\sqrt{2^{-1}}\cdot \sqrt{2^{x^2-7,5}} \ge 2^{-7};$$

$$2^{-\frac12}\cdot 2^{\frac{x^2-7,5}{2}} \ge 2^{-7};$$

$$2^{-\frac12+\frac{x^2-7,5}{2}} \ge 2^{-7};$$

$$-\frac12+\frac{x^2-7,5}{2} \ge -7;$$

$$-1+x^2-7,5 \ge -14;$$

$$x^2 \ge -5,5.$$

Это верно при любом $$x$$, значит

$$x \in (-\infty;+\infty).$$

б) $$0,9^{x^2-4x} < \left(\frac{10}{9}\right)^3;$$

$$0,9^{x^2-4x} < 0,9^{-3};$$

так как $$0<0,9<1,$$ получаем

$$x^2-4x > -3;$$

$$x^2-4x+3 > 0;$$

$$\left(x-1\right)\left(x-3\right) > 0.$$

Отсюда

$$x \in (-\infty;1)\cup(3;+\infty).$$

в) $$14^{x^2+x} \le 196;$$

$$14^{x^2+x} \le 14^2;$$

так как $$14>1,$$ имеем

$$x^2+x \le 2;$$

$$x^2+x-2 \le 0;$$

$$\left(x+2\right)\left(x-1\right)\le 0.$$

Следовательно,

$$x \in [-2;1].$$

г) $$\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{3x^2-13x} > 9;$$

$$3^{-\frac12(3x^2-13x)} > 3^2;$$

так как $$3>1,$$ получаем

$$-\frac12(3x^2-13x) > 2;$$

$$3x^2-13x < -4;$$

$$3x^2-13x+4 < 0;$$

$$\left(3x-1\right)\left(x-4\right) < 0.$$

Отсюда

$$x \in \left(\frac13;4\right).$$