Упр.13.7 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 13.7. Решите неравенство:
   а) $$2\sqrt{2}\cdot 2^{x-3}\ge \frac{1}{2};$$
   б) $$\sqrt[3]{125}\cdot\sqrt{5}\le 5\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^{2x-5};$$
   в) $$\left(\frac{1}{7}\right)^{3x+4}\cdot 7\sqrt{7}<\frac{1}{7};$$
   г) $$0{,}25\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{10-x}>4\sqrt{64}.$$

а) $$2\sqrt{2}\cdot 2^{x-3}\ge \frac12$$

$$2^{\frac32}\cdot 2^{x-3}\ge 2^{-1}$$

$$2^{x-\frac32}\ge 2^{-1}$$

Тогда

$$x-\frac32\ge -1,$$

$$x\ge \frac12.$$

Ответ: $$x\in \left[\frac12;+\infty\right).$$

б) $$\sqrt[3]{125}\cdot \sqrt{5}\le 5\cdot \left(\frac15\right)^{2x-1}$$

$$5\cdot 5^{\frac12}\le 5\cdot 5^{1-2x}$$

$$5^{\frac32}\le 5^{2-2x}$$

Следовательно,

$$\frac32\le 2-2x,$$

$$-2x\ge -\frac12,$$

$$x\le \frac14.$$

Ответ: $$x\in \left(-\infty;\frac14\right].$$

в) $$\left(\frac17\right)^{3x+4}\cdot 7\sqrt7<\frac17$$

$$7^{-3x-4}\cdot 7^{\frac32}<7^{-1}$$

$$7^{-3x-\frac52}<7^{-1}$$

Тогда

$$-3x-\frac52<-1,$$

$$-3x<\frac32,$$

$$x>-\frac12.$$

Ответ: $$x\in \left(-\frac12;+\infty\right).$$

г) $$0{,}25\cdot \left(\frac14\right)^{10-x}>4\sqrt{64}$$

$$\frac14\cdot 4^{x-10}>4\cdot 8$$

$$4^{x-11}>4^3$$

Тогда

$$x-11>3,$$

$$x>14.$$

Ответ: $$x\in (14;+\infty).$$