Упр.13.6 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$2(3x+6)\leq\frac{1}{4}(x+3)$$; б) $$\frac{7}{12}(-2x+3)>\frac{12}{7}(3+2x)$$; в) $$25(-x+3)\geq\frac{1}{5}(3x-1)$$; г) $$\frac{5}{3}(2x-8)<\frac{9}{25}(-x-3)$$.
а) $$2^{3x+6}\le \left(\frac14\right)^{x-1}.$$
Представим правую часть как степень числа $$2$$:
$$\left(\frac14\right)^{x-1}=2^{-2(x-1)}=2^{-2x+2}.$$
Тогда, так как основания одинаковые и больше $$1$$, сравниваем показатели:
$$3x+6\le -2x+2.$$
$$5x\le -4,$$
$$x\le -\frac45.$$
б) $$\left(\frac{7}{12}\right)^{-2x+3}>\left(\frac{12}{7}\right)^{3+2x}.$$
Преобразуем правую часть:
$$\left(\frac{12}{7}\right)^{3+2x}=\left(\frac{7}{12}\right)^{-3-2x}.$$
Тогда получаем:
$$\left(\frac{7}{12}\right)^{-2x+3}>\left(\frac{7}{12}\right)^{-3-2x}.$$
Так как $$0<\frac{7}{12}<1,$$ при сравнении степеней знак неравенства меняется:
$$-2x+3<-3-2x.$$
$$3<-3,$$
что неверно. Следовательно, решений нет.
в) $$25^{-x+3}\ge \left(\frac15\right)^{3x-1}.$$
Запишем всё через основание $$5$$:
$$25^{-x+3}=(5^2)^{-x+3}=5^{-2x+6},$$
$$\left(\frac15\right)^{3x-1}=5^{-3x+1}.$$
Так как основание $$5>1$$, сравниваем показатели:
$$-2x+6\ge -3x+1,$$
$$x\ge -5.$$
г) $$\left(\frac53\right)^{2x-8}<\left(\frac{9}{25}\right)^{-x+3}.$$
Преобразуем правую часть:
$$\frac{9}{25}=\left(\frac35\right)^2=\left(\frac53\right)^{-2},$$
поэтому
$$\left(\frac{9}{25}\right)^{-x+3}=\left(\frac53\right)^{2x-6}.$$
Тогда
$$\left(\frac53\right)^{2x-8}<\left(\frac53\right)^{2x-6}.$$
Так как $$\frac53>1,$$ сравниваем показатели:
$$2x-8<2x-6,$$
$$-8<-6,$$
что верно при любом $$x$$.
Ответ
а) $$x\in\left(-\infty;-\frac45\right];$$ б) $$\varnothing;$$ в) $$x\in[-5;+\infty);$$ г) $$x\in\mathbb{R}.$$
