Упр.13.49 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим неравенство

$$\left(10^{4x-9}-1\right)\left(3^{5x-21}-1\right)\ge 0.$$

Так как $$1=10^0$$ и $$1=3^0,$$ получаем

$$\left(10^{4x-9}-10^0\right)\left(3^{5x-21}-3^0\right)\ge 0.$$

Поскольку функции $$10^t$$ и $$3^t$$ возрастают, знак каждого множителя определяется знаком показателя:

$$4x-9$$ и $$5x-21.$$

Тогда

$$\left(4x-9\right)\left(5x-21\right)\ge 0.$$

Найдём нули множителей:

$$4x-9=0 \Rightarrow x=\frac{9}{4}=2{,}25,$$

$$5x-21=0 \Rightarrow x=\frac{21}{5}=4{,}2.$$

Решение неравенства:

$$x\le 2{,}25 \quad \text{или} \quad x\ge 4{,}2.$$

Целые числа, наиболее удалённые от множества решений, лежат между $$2{,}25$$ и $$4{,}2.$$ Ближайшее к границам целое число, не входящее в множество решений, — $$4.$$

Ответ: 4.