Упр.13.47 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть $$t=2^x.$$ Тогда $$4^{x-1}=\frac14\cdot 4^x=\frac14\cdot 2^{2x}.$$ Получаем неравенство

$$\frac14\cdot 2^{2x}-9\cdot 2^x+32\le 0,$$

или

$$2^{2x}-36\cdot 2^x+128\le 0.$$

Обозначим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$ и

$$t^2-36t+128\le 0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=36^2-4\cdot 128=1296-512=784,$$

$$t_{1,2}=\frac{36\pm 28}{2},$$

откуда

$$t_1=4,\qquad t_2=32.$$

Тогда

$$\left(t-4\right)\left(t-32\right)\le 0,$$

то есть

$$4\le t\le 32.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем

$$4\le 2^x\le 32,$$

$$2^2\le 2^x\le 2^5,$$

значит,

$$2\le x\le 5.$$

Целые значения $$x$$: $$2,3,4,5.$$ Их количество равно $$4$$.

Ответ: 4.