Упр.13.46 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. При каких значениях параметра $$a$$ неравенство $$9^x — 4(a — 1)\cdot 3^x + a > 1$$ выполняется для любого значения $$x$$?
2. При каких значениях параметра $$a$$ неравенство $$4^x — (a — 3)\cdot 2^{x+1} + 2a + 2 < 0$$ не имеет решений?

Пусть $$t=3^x,$$ тогда $$t>0.$$

а) Неравенство

$$9^x-4(a-1)\cdot 3^x+a>1$$

перепишем как

$$t^2-4(a-1)t+(a-1)>0.$$

Чтобы это неравенство выполнялось при любом $$x,$$ достаточно, чтобы квадратный трехчлен был положителен при всех $$t>0.$$ Для этого его дискриминант должен быть отрицательным:

$$D=16(a-1)^2-4(a-1)=16a^2-36a+20.$$

Тогда

$$16a^2-36a+20<0,$$

$$4a^2-9a+5<0,$$

$$4a^2-9a+5=(4a-5)(a-1).$$

Следовательно,

$$1<a<\frac54.$$

б) Неравенство

$$4^x-(a-3)\cdot 2^{x+1}+2a+2<0$$

преобразуем, положив $$t=2^x,  t>0$$:

$$t^2-2(a-3)t+2a+2<0.$$

Чтобы это неравенство не имело решений, нужно, чтобы квадратный трехчлен был неотрицателен при всех $$t>0.$$ Это возможно, если:

1. $$D\le 0,$$
2. или оба корня неположительны.

1) Найдём дискриминант:

$$D=4(a-3)^2-4(2a+2)=4(a^2-8a+7)=4(a-1)(a-7).$$

Тогда

$$D\le 0 \iff (a-1)(a-7)\le 0 \iff 1\le a\le 7.$$

2) Если $$D>0,$$ то оба корня должны быть неположительными. По теореме Виета для этого нужно:

$$a-3\le 0,\qquad 2a+2\ge 0,$$

то есть

$$-1\le a\le 3.$$

С учётом условия $$D>0$$ получаем $$-1\le a<1.$$

Объединяя случаи, имеем:

$$a\in[-1;7].$$

Ответ: а) $$1<a<\frac54$$; б) $$a\in[-1;7].$$