Упр.13.45 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$(2x-8)(3x-81)<0$$; б) $$(3(x+2)-\frac{1}{25})(5(3-2x)-0{,}2)\ge 0$$.

а) $$\left(2^x-8\right)\left(3^x-81\right)<0.$$

Найдём нули множителей:

$$2^x-8=0 \Rightarrow 2^x=8=2^3 \Rightarrow x=3,$$

$$3^x-81=0 \Rightarrow 3^x=81=3^4 \Rightarrow x=4.$$

Рассмотрим знаки множителей:

• при $$x<3$$ оба множителя отрицательны, произведение положительно;
• при $$3<x<4$$ первый множитель положителен, второй отрицателен, произведение отрицательно;
• при $$x>4$$ оба множителя положительны, произведение положительно.

Следовательно, неравенство выполняется при

$$x\in(3;4).$$

б) $$\left(3^{x+2}-\frac{1}{27}\right)\left(5^{3-2x}-0{,}2\right)\ge 0.$$

Преобразуем числа к степеням:

$$\frac{1}{27}=3^{-3}, \qquad 0{,}2=\frac15=5^{-1}.$$

Тогда

$$\left(3^{x+2}-3^{-3}\right)\left(5^{3-2x}-5^{-1}\right)\ge 0.$$

Найдём нули множителей:

$$3^{x+2}=3^{-3}\Rightarrow x+2=-3\Rightarrow x=-5,$$

$$5^{3-2x}=5^{-1}\Rightarrow 3-2x=-1\Rightarrow x=2.$$

Так как показательные функции возрастают, то:

• при $$x<-5$$ первый множитель отрицателен, второй положителен;
• при $$-5<x<2$$ оба множителя отрицательны;
• при $$x>2$$ первый множитель положителен, второй отрицателен.

Произведение неотрицательно на промежутке

$$x\in[-5;2].$$

Ответ

а) $$x\in(3;4);$$ б) $$x\in[-5;2].$$