Упр.13.44 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\frac{x^2-2}{2x-8}<0$$; б) $$\frac{x^2-5}{5x-125}\geq 0$$.

а) Рассмотрим неравенство

$$\frac{x^2-2}{2x-8}<0.$$

Разложим на множители:

$$\frac{(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)}{2(x-4)}<0.$$

Так как множитель $$2>0,$$ его можно сократить:

$$\frac{(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)}{x-4}<0.$$

Критические точки: $$x=-\sqrt2,\ \sqrt2,\ 4.$$

Исследуем знаки на промежутках:

$$x\in(-\infty,-\sqrt2)\cup(\sqrt2,4).$$

Точка $$x=4$$ не входит в область определения, а корни числителя не входят, так как неравенство строгое.

б) Рассмотрим неравенство

$$\frac{x^2-5}{5x-125}\ge 0.$$

Разложим на множители:

$$\frac{(x-\sqrt5)(x+\sqrt5)}{5(x-25)}\ge 0.$$

Сократим положительный множитель $$5$$:

$$\frac{(x-\sqrt5)(x+\sqrt5)}{x-25}\ge 0.$$

Критические точки: $$x=-\sqrt5,\ \sqrt5,\ 25.$$

По знакам на промежутках получаем:

$$x\in[-\sqrt5,\sqrt5]\cup(25,+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty,-\sqrt2)\cup(\sqrt2,4).$$

б) $$x\in[-\sqrt5,\sqrt5]\cup(25,+\infty).$$