Упр.13.43 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 13.43. Решите неравенство: а) $$(x-6)(5(x-6)-25)<0$$; б) $$(2x+1)(3(3-x)-9)>0$$.

а) $$\left(x-6\right)\left(5^{x-6}-25\right)<0$$

Преобразуем второй множитель:

$$25=5^2,$$

тогда

$$\left(x-6\right)\left(5^{x-6}-5^2\right)<0.$$

Так как функция $$5^t$$ возрастает, то

$$5^{x-6}-5^2 \text{ и } (x-6)-2$$

имеют один и тот же знак. Поэтому

$$\left(x-6\right)\left(x-8\right)<0.$$

Произведение отрицательно между корнями:

$$6<x<8.$$

б) $$\left(2x+1\right)\left(3^{3-x}-9\right)>0$$

Преобразуем второй множитель:

$$9=3^2,$$

значит

$$\left(2x+1\right)\left(3^{3-x}-3^2\right)>0.$$

Так как функция $$3^t$$ возрастает, то знак второго множителя совпадает со знаком выражения $$3-x-2$$, то есть $$1-x$$. Тогда

$$\left(2x+1\right)\left(1-x\right)>0.$$

Нули множителей:

$$2x+1=0 \Rightarrow x=-\frac12,$$

$$1-x=0 \Rightarrow x=1.$$

Произведение положительно между корнями:

$$-\frac12<x<1.$$

Ответ

а) $$x\in(6;8)$$; б) $$x\in\left(-\frac12;1\right).$$