Упр.13.42 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Решите неравенство:

а) $$(x^2+4x+4)(3x-27)\ge 0$$;
б) $$\frac{0{,}2x-0{,}008}{x^2-10x+25}<0$$;
в) $$\frac{25-0{,}2x}{4x^2-4x+1}\le 0$$;
г) $$\frac{x^2+6x+9}{2x-4}>0$$.

Подробный ответ

а) $$\frac{x^2+4x+4}{3^x-27}\ge 0$$
Преобразуем выражение:
$$\frac{(x+2)^2}{3^x-3^3}\ge 0.$$
Числитель $$\,(x+2)^2\ge 0$$ при всех $$x$$, и равен нулю при $$x=-2$$. Знаменатель обращается в нуль при $$x=3$$, поэтому $$x\ne 3$$.
Чтобы дробь была неотрицательной, нужно либо числитель равнялся нулю, либо знаменатель был положительным:
$$x=-2 \quad \text{или} \quad 3^x-27>0.$$
Так как функция $$3^x$$ возрастает, то
$$3^x>3^3 \iff x>3.$$
Следовательно,
$$x\in\{-2\}\cup(3;+\infty).$$
б) $$\frac{0{,}2^x-0{,}008}{x^2-10x+25}<0$$
Преобразуем:
$$\frac{0{,}2^x-0{,}2^3}{(x-5)^2}<0.$$
Знаменатель $$\,(x-5)^2>0$$ при $$x\ne 5$$, а при $$x=5$$ выражение не определено.
Значит, дробь будет отрицательной тогда и только тогда, когда числитель отрицателен:
$$0{,}2^x-0{,}2^3<0 \iff 0{,}2^x<0{,}2^3.$$
Так как $$0<0{,}2<1$$, функция $$0{,}2^x$$ убывает, поэтому
$$x>3.$$
С учётом ОДЗ $$x\ne 5$$ получаем:
$$x\in(3;5)\cup(5;+\infty).$$
в) $$\frac{25-0{,}2^x}{4x^2-4x+1}\le 0$$
Преобразуем:
$$\frac{5^2-5^{-x}}{(2x-1)^2}\le 0.$$
Знаменатель $$\,(2x-1)^2>0$$ при $$x\ne \frac12$$, а при $$x=\frac12$$ выражение не определено.
Следовательно, нужно, чтобы числитель был неположительным:
$$25-0{,}2^x\le 0 \iff 0{,}2^x\ge 25.$$
Так как $$0{,}2=\frac15$$, имеем
$$\left(\frac15\right)^x\ge 5^2 \iff 5^{-x}\ge 5^2 \iff -x\ge 2 \iff x\le -2.$$
Точка $$x=\frac12$$ не входит в найденный промежуток, поэтому
$$x\in(-\infty;-2].$$
г) $$\frac{x^2+6x+9}{2x-4}>0$$
Преобразуем:
$$\frac{(x+3)^2}{2(x-2)}>0.$$
Числитель $$\,(x+3)^2\ge 0$$ и равен нулю при $$x=-3$$. Знаменатель обращается в нуль при $$x=2$$.
Чтобы дробь была положительной, числитель должен быть положительным, а знаменатель — положительным:
$$x\ne -3,\qquad x>2.$$
Итак,
$$x\in(2;+\infty).$$