Упр.13.41 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- 13.41.
а) $$\begin{cases}3(2x+1)\ge 9,\\0{,}5(x-1)\le 2;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}0{,}3(-4x+1)\le \frac{100}{9},\\10(2x+4)\ge 1;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}\sqrt{3}(6x-2)\ge \frac{1}{81},\\0{,}2(3x+1)\le 5(x-1);\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}\sqrt{2}(-3x-1)\le 2\sqrt{2},\\\sqrt{0{,}4}(4x-2)>0{,}16.\end{cases}$$
а) $$3^{2x+1}\ge 9,\qquad 0{,}5^{x-1}\le 2.$$
Первое неравенство:
$$3^{2x+1}\ge 3^2 \Rightarrow 2x+1\ge 2 \Rightarrow 2x\ge 1 \Rightarrow x\ge 0{,}5.$$
Второе неравенство:
$$0{,}5^{x-1}\le 2,$$
$$2^{1-x}\le 2^1 \Rightarrow 1-x\le 1 \Rightarrow x\ge 0.$$
Пересечение решений:
$$x\ge 0{,}5.$$
б) $$0{,}3^{-4x+1}\le \frac{100}{9},\qquad 10^{2x+4}\ge 1.$$
Первое неравенство:
$$0{,}3^{-4x+1}\le \frac{100}{9},$$
$$\left(\frac{3}{10}\right)^{-4x+1}\le \left(\frac{10}{3}\right)^2,$$
$$\left(\frac{10}{3}\right)^{4x-1}\le \left(\frac{10}{3}\right)^2 \Rightarrow 4x-1\le 2 \Rightarrow 4x\le 3 \Rightarrow x\le 0{,}75.$$
Второе неравенство:
$$10^{2x+4}\ge 1=10^0 \Rightarrow 2x+4\ge 0 \Rightarrow x\ge -2.$$
Пересечение решений:
$$x\in[-2;\,0{,}75].$$
в) $$\left(\sqrt{3}\right)^{6x-2}\ge \frac{1}{81},\qquad 0{,}2^{3x+1}\le 5^{x-1}.$$
Первое неравенство:
$$\left(\sqrt{3}\right)^{6x-2}\ge \frac{1}{81},$$
$$3^{3x-1}\ge 3^{-4},$$
$$3x-1\ge -4 \Rightarrow 3x\ge -3 \Rightarrow x\ge -1.$$
Второе неравенство:
$$0{,}2^{3x+1}\le 5^{x-1},$$
$$\left(\frac{1}{5}\right)^{3x+1}\le \left(\frac{1}{5}\right)^{1-x},$$
$$3x+1\ge 1-x \Rightarrow 4x\ge 0 \Rightarrow x\ge 0.$$
Пересечение решений:
$$x\ge 0.$$
г) $$\left(\sqrt{2}\right)^{-3x-1}\le 2\sqrt{2},\qquad \left(\sqrt{0{,}4}\right)^{4x-2}>0{,}16.$$
Первое неравенство:
$$\left(\sqrt{2}\right)^{-3x-1}\le 2\sqrt{2}=2^{3/2},$$
$$2^{\frac{-3x-1}{2}}\le 2^{3/2} \Rightarrow -3x-1\le 3 \Rightarrow -3x\le 4 \Rightarrow x\ge -\frac{4}{3}.$$
Второе неравенство:
$$\left(\sqrt{0{,}4}\right)^{4x-2}>0{,}16,$$
$$0{,}4^{2x-1}>0{,}4^2,$$
$$2x-1<2 \Rightarrow 2x<3 \Rightarrow x<\frac{3}{2}.$$
Пересечение решений:
$$x\in\left[-\frac{4}{3};\,\frac{3}{2}\right).$$
Ответ
а) $$x\ge 0{,}5$$; б) $$x\in[-2;\,0{,}75]$$; в) $$x\ge 0$$; г) $$x\in\left[-\frac{4}{3};\,\frac{3}{2}\right).$$
