Упр.13.40 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 13.40. Решите систему неравенств:
   
   а) $$\begin{cases}2^{x+1}>4,\\7^{3x-10}<49;\end{cases}$$
   б) $$\left(\frac{1}{2}\right)^{4x+2{,}5}>\left(\sqrt{2}\right)^{10(x^2-1)}>1000;$$
   
   в) $$\begin{cases}0{,}4^{-x+3}<0{,}16,\\0{,}1^{x^2+1}>0{,}01;\end{cases}$$
   
   г) $$\begin{cases}\sqrt{5}\cdot 5^{2x-0{,}5}\geqslant1,\\0{,}2^{6-9x}\leqslant125.\end{cases}$$

а) $$2^{x+1}>4=2^2 \Rightarrow x+1>2 \Rightarrow x>1,$$

$$7^{3x-10}<49=7^2 \Rightarrow 3x-10<2 \Rightarrow x<4.$$

Пересечение решений:

$$x\in(1;4).$$

б) $$\left(\frac12\right)^{4x+2,5}>\sqrt2=2^{0,5}.$$

Так как $$\left(\frac12\right)^{4x+2,5}=2^{-4x-2,5},$$ то

$$2^{-4x-2,5}>2^{0,5} \Rightarrow -4x-2,5>0,5 \Rightarrow x<-0,75.$$

Второе неравенство:

$$10^{x^2-1}>1000=10^3 \Rightarrow x^2-1>3 \Rightarrow x^2>4 \Rightarrow x<-2 \text{ или } x>2.$$

Пересечение с условием $$x<-0,75$$ даёт:

$$x\in(-\infty;-2).$$

в) $$0,4(-x+3)<0,16=0,4^2.$$

Так как $$0,4=0,4^1$$ и число $$0,4<1,$$ получаем:

$$-x+3>2 \Rightarrow x<1.$$

Второе неравенство:

$$0,1(x^2+1)>0,01=0,1^2.$$

Так как $$0,1<1,$$ то

$$x^2+1<2 \Rightarrow x^2<1 \Rightarrow -1<x<1.$$

Пересечение решений:

$$x\in(-1;1).$$

г) $$\sqrt5\cdot 5^{2x-0,5}\ge 1.$$

Преобразуем левую часть:

$$\sqrt5=5^{0,5},$$

тогда

$$5^{0,5}\cdot 5^{2x-0,5}=5^{2x}.$$

Получаем:

$$5^{2x}\ge 1=5^0 \Rightarrow 2x\ge 0 \Rightarrow x\ge 0.$$

Второе неравенство:

$$0,2^{6-9x}\le 125.$$

Так как $$0,2=\frac15=5^{-1}$$ и $$125=5^3,$$ то

$$5^{9x-6}\le 5^3 \Rightarrow 9x-6\le 3 \Rightarrow x\le 1.$$

Пересечение решений:

$$x\in[0;1].$$

Ответ

а) $$x\in(1;4);$$ б) $$x\in(-\infty;-2);$$ в) $$x\in(-1;1);$$ г) $$x\in[0;1].$$