Упр.13.39 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

а) $$2x+2-x^2 \ge 3(x^2-2x+2)$$;

б) $$2(x^2-4x+5) \ge 4x-2-x^2$$.

Подробный ответ

а) Пусть $$t=x^2-2x.$$ Тогда неравенство принимает вид

$$2-t\ge 3^{t+2}.$$

Рассмотрим функции $$f(t)=2-t$$ и $$g(t)=3^{t+2}.$$ Первая функция убывает на $$\mathbb{R}$$, вторая возрастает на $$\mathbb{R}$$, значит, неравенство выполняется при $$t$$ не больше точки их пересечения.

Найдём эту точку:

$$2-t=3^{t+2}.$$

Проверим значение $$t=-1$$:

$$2-(-1)=3,$$

$$3^{-1+2}=3.$$

Следовательно, $$t=-1$$ — точка пересечения, и потому

$$t\le -1.$$

Возвращаемся к замене:

$$x^2-2x\le -1,$$

$$x^2-2x+1\le 0,$$

$$\left(x-1\right)^2\le 0.$$

Квадрат неотрицателен, значит, возможно только равенство нулю:

$$x-1=0,$$

$$x=1.$$

б) Пусть $$t=x^2-4x+5.$$ Тогда неравенство принимает вид

$$2^t\ge 4x-2-x^2.$$

Преобразуем правую часть:

$$4x-2-x^2=-(x^2-4x+5)+3=-t+3.$$

Получаем

$$2^t\ge 3-t.$$

Рассмотрим функции $$f(t)=2^t$$ и $$g(t)=3-t.$$ Первая функция возрастает на $$\mathbb{R}$$, вторая убывает на $$\mathbb{R}$$, значит, неравенство выполняется при $$t$$ не меньше точки их пересечения.

Проверим $$t=1$$:

$$2^1=2,$$

$$3-1=2.$$

Значит, точка пересечения — $$t=1$$, и потому

$$t\ge 1.$$

Возвращаемся к замене:

$$x^2-4x+5\ge 1,$$

$$x^2-4x+4\ge 0,$$

$$\left(x-2\right)^2\ge 0.$$

Это верно при любом $$x\in\mathbb{R}$$.