Упр.13.38 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$x\cdot 2^x<8$$;
б) $$x\cdot (0{,}5)^x\geqslant -8$$.

а) Рассмотрим неравенство $$x\cdot 2^x<8.$$

Если $$x\le 0,$$ то $$x\cdot 2^x\le 0<8,$$ значит, все такие $$x$$ подходят.

Если $$x>0,$$ то можно разделить обе части на $$x$$:

$$2^x<\frac{8}{x}.$$

Сравним графики функций $$y=2^x$$ и $$y=\frac{8}{x}.$$ Они пересекаются при $$x=2,$$ а при $$x<2$$ выполняется неравенство $$2^x<\frac{8}{x}.$$ С учётом случая $$x\le 0$$ получаем

$$x\in(-\infty;2).$$

б) Рассмотрим неравенство $$x\cdot (0{,}5)^x\ge -8.$$

Если $$x\ge 0,$$ то $$x\cdot (0{,}5)^x\ge 0\ge -8,$$ значит, все такие $$x$$ подходят.

Если $$x<0,$$ то, разделив обе части на отрицательное число $$x,$$ получаем

$$(0{,}5)^x\le -\frac{8}{x}.$$

Графики функций $$y=(0{,}5)^x$$ и $$y=-\frac{8}{x}$$ пересекаются при $$x=-2.$$ При $$x\le -2$$ выполняется неравенство $$(0{,}5)^x\le -\frac{8}{x},$$ а вместе с случаем $$x\ge 0$$ получаем

$$x\in[-2;+\infty).$$

Ответ: а) $$(-\infty;2)$$; б) $$[-2;+\infty).$$