Упр.13.37 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$\frac{1}{x} \leq 4{,}5(x-1)$$; б) $$\frac{5}{x} \geq 3(x-1)+4$$.
Рассмотрим область определения: $$x \ne 0.$$
а)
$$\frac{1}{x}\le (4{,}5)^{x-1}.$$
Если $$x<0,$$ то левая часть отрицательна, а правая положительна, значит неравенство выполняется.
Если $$x>0,$$ то сравним значения функций. При $$x=1$$ получаем:
$$\frac{1}{1}=1,\qquad (4{,}5)^{1-1}=1.$$
Так как при $$x>0$$ функция $$\frac{1}{x}$$ убывает, а функция $$(4{,}5)^{x-1}$$ возрастает, то при $$0<x<1$$ имеем $$\frac{1}{x}>(4{,}5)^{x-1},$$ а при $$x\ge 1$$ неравенство выполняется.
Следовательно,
$$x\in(-\infty;0)\cup[1;+\infty).$$
б)
$$\frac{5}{x}\ge 3^{x-1}+4.$$
Если $$x<0,$$ то левая часть отрицательна, а правая не меньше $$4,$$ значит неравенство не выполняется.
Если $$x>0,$$ то при $$x=1$$:
$$\frac{5}{1}=5,\qquad 3^{1-1}+4=5.$$
При $$0<x<1$$ функция $$\frac{5}{x}$$ больше, чем при $$x=1,$$ а функция $$3^{x-1}+4$$ меньше, чем при $$x=1,$$ поэтому неравенство выполняется. При $$x>1$$ левая часть убывает, а правая возрастает, значит неравенство уже не выполняется.
Итак,
$$x\in(0;1].$$
Ответ
а) $$x\in(-\infty;0)\cup[1;+\infty);$$ б) $$x\in(0;1].$$
