Упр.13.36 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\frac{1}{3}(x-1)\geq x^2$$; б) $$x^2+6x+9\geq (0{,}1)(x+2)$$.

а) Рассмотрим функции $$y=\left(\frac13\right)^{x-1}$$ и $$y=x^2.$$

Найдём точку их пересечения:

$$\left(\frac13\right)^{x-1}=x^2.$$

Проверим значение $$x=1$$:

$$\left(\frac13\right)^{1-1}=1,\qquad 1^2=1.$$

Значит, графики пересекаются в точке $$\left(1;1\right).$$

При $$x\le 1$$ график функции $$y=\left(\frac13\right)^{x-1}$$ расположен не ниже графика $$y=x^2,$$ а при $$x>1$$ — ниже.

Ответ: $$x\in(-\infty;1].$$

Ход решения

б) Преобразуем неравенство:

$$x^2+6x+9\ge (0{,}1)^{x+2}$$

$$\left(x+3\right)^2\ge (0{,}1)^{x+2}.$$

Рассмотрим функции $$y=\left(x+3\right)^2$$ и $$y=(0{,}1)^{x+2}.$$

Найдём точку пересечения:

$$\left(x+3\right)^2=(0{,}1)^{x+2}.$$

Проверим значение $$x=-2$$:

$$(-2+3)^2=1,\qquad (0{,}1)^{0}=1.$$

Значит, графики пересекаются в точке $$\left(-2;1\right).$$

При $$x\ge -2$$ выполняется неравенство $$\left(x+3\right)^2\ge (0{,}1)^{x+2},$$ а при $$x<-2$$ — нет.

Ответ: $$x\in[-2;+\infty).$$