Упр.13.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$5x \le -x+6$$; б) $$\frac{1}{4}x > 3x+1$$; в) $$\frac{1}{2}x < 0{,}5x+5$$; г) $$3x \ge -x+4$$.
а) Рассмотрим функции $$f(x)=5^x$$ и $$g(x)=-x+6.$$
Функция $$f(x)=5^x$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=-x+6$$ убывает на $$\mathbb{R}$$. Найдём точку их пересечения:
$$5^1=5,\qquad -1+6=5.$$
Значит, при $$x=1$$ функции равны. Так как первая функция возрастает, а вторая убывает, то неравенство $$5^x\le -x+6$$ выполняется при
$$x\in(-\infty;1].$$
б) Рассмотрим функции $$f(x)=\left(\frac14\right)^x$$ и $$g(x)=3x+1.$$
Функция $$f(x)=\left(\frac14\right)^x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=3x+1$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$. Найдём точку их пересечения:
$$\left(\frac14\right)^0=1,\qquad 3\cdot 0+1=1.$$
Следовательно, при $$x=0$$ функции равны. Тогда неравенство $$\left(\frac14\right)^x>3x+1$$ выполняется при
$$x\in(-\infty;0).$$
в) Рассмотрим функции $$f(x)=\left(\frac12\right)^x$$ и $$g(x)=0{,}5x+5.$$
Функция $$f(x)=\left(\frac12\right)^x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=0{,}5x+5$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$. Найдём точку их пересечения:
$$\left(\frac12\right)^{-2}=4,\qquad 0{,}5\cdot(-2)+5=4.$$
Значит, при $$x=-2$$ функции равны. Тогда неравенство $$\left(\frac12\right)^x<0{,}5x+5$$ выполняется при
$$x\in(-2;+\infty).$$
г) Рассмотрим функции $$f(x)=3^x$$ и $$g(x)=-x+4.$$
Функция $$f(x)=3^x$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=-x+4$$ убывает на $$\mathbb{R}$$. Найдём точку их пересечения:
$$3^1=3,\qquad -1+4=3.$$
Следовательно, при $$x=1$$ функции равны. Тогда неравенство $$3^x\ge -x+4$$ выполняется при
$$x\in[1;+\infty).$$
Ответ
а) $$(-\infty;1]$$; б) $$(-\infty;0)$$; в) $$(-2;+\infty)$$; г) $$[1;+\infty).$$
