Упр.13.33 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$5x^2-30\sqrt{5}x+125\geqslant 0$$; б) $$0{,}2x^2-1{,}2\sqrt{0{,}2}x+0{,}2\leqslant 0$$; в) $$3(x+1)^2-28\sqrt{3}(x+1)+9\leqslant 0$$; г) $$7(x+1)^2-50\sqrt{7}(x+1)+7\geqslant 0$$.

а) Пусть $$y=(\sqrt{5})^x,$$ тогда $$y^2-30y+125\ge 0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=30^2-4\cdot125=900-500=400,$$

$$y_{1,2}=\frac{30\pm20}{2},\quad y_1=5,\; y_2=25.$$

Тогда

$$(y-5)(y-25)\ge 0,$$

откуда $$y\le 5$$ или $$y\ge 25.$$

Так как $$y=(\sqrt{5})^x,$$ получаем:

$$(\sqrt{5})^x\le 5 \Rightarrow x\le 2,$$

$$(\sqrt{5})^x\ge 25 \Rightarrow x\ge 4.$$

Следовательно, $$x\in(-\infty;2]\cup[4;+\infty).$$

б) Пусть $$y=(\sqrt{0,2})^x,$$ тогда

$$y^2-1,2y+0,2\le 0.$$

Умножим на $$5$$:

$$5y^2-6y+1\le 0.$$

Найдём корни:

$$D=6^2-4\cdot5\cdot1=36-20=16,$$

$$y_{1,2}=\frac{6\pm4}{10},\quad y_1=0,2,\; y_2=1.$$

Тогда

$$(y-0,2)(y-1)\le 0,$$

откуда $$0,2\le y\le 1.$$

Следовательно,

$$(\sqrt{0,2})^x\ge 0,2 \Rightarrow x\le 2,$$

$$(\sqrt{0,2})^x\le 1 \Rightarrow x\ge 0.$$

Итак, $$x\in[0;2].$$

в) $$3^{x+1}-28\cdot(\sqrt{3})^x+9\le 0.$$

Преобразуем:

$$3\cdot3^x-28\cdot(\sqrt{3})^x+9\le 0.$$

Пусть $$y=(\sqrt{3})^x,$$ тогда $$3^x=y^2,$$ и получаем

$$3y^2-28y+9\le 0.$$

Найдём корни:

$$D=28^2-4\cdot3\cdot9=784-108=676,$$

$$y_{1,2}=\frac{28\pm26}{6},\quad y_1=\frac13,\; y_2=9.$$

Тогда

$$\left(y-\frac13\right)(y-9)\le 0,$$

откуда

$$\frac13\le y\le 9.$$

Следовательно,

$$(\sqrt{3})^x\ge \frac13 \Rightarrow x\ge -2,$$

$$(\sqrt{3})^x\le 9 \Rightarrow x\le 4.$$

Итак, $$x\in[-2;4].$$

г) $$7^{x+1}-50\cdot(\sqrt{7})^x+7\ge 0.$$

Преобразуем:

$$7\cdot7^x-50\cdot(\sqrt{7})^x+7\ge 0.$$

Пусть $$y=(\sqrt{7})^x,$$ тогда $$7^x=y^2,$$ и получаем

$$7y^2-50y+7\ge 0.$$

Найдём корни:

$$D=50^2-4\cdot7\cdot7=2500-196=2304,$$

$$y_{1,2}=\frac{50\pm48}{14},\quad y_1=\frac17,\; y_2=7.$$

Тогда

$$\left(y-\frac17\right)(y-7)\ge 0,$$

откуда $$y\le \frac17$$ или $$y\ge 7.$$

Следовательно,

$$(\sqrt{7})^x\le \frac17 \Rightarrow x\le -2,$$

$$(\sqrt{7})^x\ge 7 \Rightarrow x\ge 2.$$

Итак, $$x\in(-\infty;-2]\cup[2;+\infty).$$