Упр.13.32 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$2(6x-10)-9\cdot2(3x-5)+8\leq0$$; б) $$5(2x+1)-5(x+2)\leq5x-5$$; в) $$3(8x+6)-10\cdot3(4x+3)+9\geq0$$; г) $$3(2x+2)-3(x+4)<3x-9$$.

а) $$2^{6x-10}-9\cdot 2^{3x-5}+8\le 0.$$

Пусть $$y=2^{3x-5},\quad y>0.$$ Тогда

$$y^2-9y+8\le 0.$$

Найдём корни:

$$D=9^2-4\cdot 1\cdot 8=81-32=49,$$

$$y_{1,2}=\frac{9\pm 7}{2},\quad y_1=1,\; y_2=8.$$

Тогда

$$(y-1)(y-8)\le 0,\qquad 1\le y\le 8.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$1\le 2^{3x-5}\le 8=2^3.$$

Отсюда

$$0\le 3x-5\le 3,$$

$$5\le 3x\le 8,$$

$$\frac{5}{3}\le x\le \frac{8}{3}.$$

Ответ: $$x\in\left[\frac{5}{3};\frac{8}{3}\right].$$

б) $$5^{2x+1}-5^{x+2}\le 5^x-5.$$

Преобразуем:

$$5\cdot 5^{2x}-25\cdot 5^x-5^x+5\le 0,$$

$$5\cdot 5^{2x}-26\cdot 5^x+5\le 0.$$

Пусть $$y=5^x,\quad y>0.$$ Тогда

$$5y^2-26y+5\le 0.$$

Найдём корни:

$$D=26^2-4\cdot 5\cdot 5=676-100=576,$$

$$y_{1,2}=\frac{26\pm 24}{10},\quad y_1=\frac15,\; y_2=5.$$

Следовательно,

$$\frac15\le y\le 5.$$

Тогда

$$\frac15\le 5^x\le 5=5^1,$$

$$-1\le x\le 1.$$

Ответ: $$x\in[-1;1].$$

в) $$3^{8x+6}-10\cdot 3^{4x+3}+9\ge 0.$$

Пусть $$y=3^{4x+3},\quad y>0.$$ Тогда

$$y^2-10y+9\ge 0.$$

Найдём корни:

$$D=10^2-4\cdot 9=100-36=64,$$

$$y_{1,2}=\frac{10\pm 8}{2},\quad y_1=1,\; y_2=9.$$

Тогда

$$(y-1)(y-9)\ge 0,\qquad y\le 1 \;\text{или}\; y\ge 9.$$

Возвращаемся к $$x$$:

$$3^{4x+3}\le 1=3^0 \quad \Rightarrow \quad 4x+3\le 0 \quad \Rightarrow \quad x\le -\frac34,$$

$$3^{4x+3}\ge 9=3^2 \quad \Rightarrow \quad 4x+3\ge 2 \quad \Rightarrow \quad x\ge -\frac14.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;-\tfrac34]\cup[-\tfrac14;+\infty).$$

г) $$3^{2x+2}-3^{x+4}<3^x-9.$$

Преобразуем:

$$9\cdot 3^{2x}-81\cdot 3^x-3^x+9<0,$$

$$9\cdot 3^{2x}-82\cdot 3^x+9<0.$$

Пусть $$y=3^x,\quad y>0.$$ Тогда

$$9y^2-82y+9<0.$$

Найдём корни:

$$D=82^2-4\cdot 9\cdot 9=6724-324=6400,$$

$$y_{1,2}=\frac{82\pm 80}{18},\quad y_1=\frac19,\; y_2=9.$$

Следовательно,

$$\frac19<y<9.$$

Тогда

$$\frac19<3^x<9=3^2,$$

$$3^{-2}<3^x<3^2,$$

$$-2<x<2.$$

Ответ: $$x\in(-2;2).$$