Упр.13.31 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$2(2^x+1)-5\cdot2^x+2\geq0$$;
- б) $$3(2^x+1)-10\cdot3^x+3<0$$;
- в) $$\frac{1}{4}(2^x-1)+15\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^x-4<0$$;
- г) $$0{,}5(2^x-1)+3\cdot(0{,}5)^x-2\geq0$$.
Положим $$y=2^x.$$ Тогда $$y>0$$, и неравенство
$$2^{2x+1}-5\cdot 2^x+2\ge 0$$
примет вид
$$2y^2-5y+2\ge 0.$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=25-16=9,$$
$$y_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4},\quad y_1=\frac12,\quad y_2=2.$$
Тогда
$$\left(y-\frac12\right)(y-2)\ge 0,$$
откуда
$$y\le \frac12 \quad \text{или} \quad y\ge 2.$$
Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:
$$2^x\le \frac12=2^{-1}\Rightarrow x\le -1,$$
$$2^x\ge 2\Rightarrow x\ge 1.$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;-1]\cup[1;+\infty).$$
Положим $$y=3^x.$$ Тогда $$y>0$$, и неравенство
$$3^{2x+1}-10\cdot 3^x+3<0$$
примет вид
$$3y^2-10y+3<0.$$
Найдём корни:
$$D=100-36=64,$$
$$y_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6},\quad y_1=\frac13,\quad y_2=3.$$
Тогда
$$\left(y-\frac13\right)(y-3)<0,$$
откуда
$$\frac13<y<3.$$
Возвращаясь к $$x$$, получаем:
$$3^x>\frac13=3^{-1}\Rightarrow x>-1,$$
$$3^x<3\Rightarrow x<1.$$
Следовательно,
$$x\in(-1;1).$$
Положим $$y=\left(\frac14\right)^x.$$ Тогда $$y>0$$, и неравенство
$$\left(\frac14\right)^{2x-1}+15\left(\frac14\right)^x-4<0$$
примет вид
$$4y^2+15y-4<0.$$
Найдём корни:
$$D=225+64=289,$$
$$y_{1,2}=\frac{-15\pm 17}{8},\quad y_1=-4,\quad y_2=\frac14.$$
Тогда
$$(-4;y)<0 \Rightarrow -4<y<\frac14.$$
С учётом $$y>0$$ получаем
$$0<y<\frac14.$$
Возвращаясь к $$x$$, имеем:
$$\left(\frac14\right)^x<\frac14=\left(\frac14\right)^1\Rightarrow x>1.$$
Следовательно,
$$x\in(1;+\infty).$$
Положим $$y=(0{,}5)^x.$$ Тогда $$y>0$$, и неравенство
$$\left(0{,}5\right)^{2x-1}+3\left(0{,}5\right)^x-2\ge 0$$
примет вид
$$2y^2+3y-2\ge 0.$$
Найдём корни:
$$D=9+16=25,$$
$$y_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{4},\quad y_1=-2,\quad y_2=\frac12.$$
Тогда
$$\left(y+2\right)\left(y-\frac12\right)\ge 0,$$
откуда с учётом $$y>0$$ получаем
$$y\ge \frac12.$$
Следовательно,
$$\left(0{,}5\right)^x\ge 0{,}5=\left(0{,}5\right)^1\Rightarrow x\le 1.$$
Значит,
$$x\in(-\infty;1].$$
Ответ
а) $$x\in(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$; б) $$x\in(-1;1)$$; в) $$x\in(1;+\infty)$$; г) $$x\in(-\infty;1].$$
