Упр.13.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$(3x-1)(3^2x+3x+1)\le 0$$;
  б) $$(7x+1)(7^2x-7x+1)\ge 0$$;
  в) $$(0{,}2x-0{,}2)(0{,}04x+0{,}2(x+1)+0{,}04)<0$$;
  г) $$\left(\frac{2}{3}x-\frac{9}{4}\right)\left(\frac{4}{9}x+\frac{2}{3}(x-2)+\frac{81}{16}\right)>0$$.

а) Обозначим $$t=3^x,$$ тогда $$t>0.$$ Получаем

$$(3^x-1)(3^{2x}+3^x+1)\le 0 \\ (t-1)(t^2+t+1)\le 0.$$

Так как $$t^2+t+1>0$$ при любом $$t,$$ то

$$t-1\le 0,$$

то есть

$$3^x\le 1 \Rightarrow x\le 0.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;0].$$

б) Обозначим $$t=7^x,$$ тогда $$t>0.$$ Имеем

$$(7^x+1)(7^{2x}-7^x+1)\ge 0 \\ (t+1)(t^2-t+1)\ge 0.$$

При любом $$t$$ выполняется $$t+1>0,$$ а также

$$t^2-t+1=\left(t-\frac12\right)^2+\frac34>0.$$

Следовательно, неравенство верно при всех $$x\in\mathbb R.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;+\infty).$$

в) Преобразуем выражение:

$$(0{,}2^x-0{,}2)(0{,}04^x+0{,}2^{x+1}+0{,}04)<0.$$

Так как $$0{,}04^x=(0{,}2^2)^x=0{,}2^{2x},$$ то

$$(0{,}2^x-0{,}2)(0{,}2^{2x}+0{,}2\cdot 0{,}2^x+0{,}2^2)<0.$$

Обозначим $$t=0{,}2^x,$$ тогда $$t>0.$$ Получаем

$$(t-0{,}2)(t^2+0{,}2t+0{,}04)<0.$$

Второй множитель всегда положителен, значит

$$t-0{,}2<0,$$

то есть

$$0{,}2^x<0{,}2=0{,}2^1 \Rightarrow x>1.$$

Ответ: $$x\in(1;+\infty).$$

г) Обозначим $$t=\left(\frac23\right)^x,$$ тогда $$t>0.$$ Имеем

$$\left(\left(\frac23\right)^x-\frac94\right)\left(\left(\frac49\right)^x+\left(\frac23\right)^{x-2}+\frac{81}{16}\right)>0.$$

Так как

$$\left(\frac49\right)^x=\left(\left(\frac23\right)^2\right)^x=\left(\frac23\right)^{2x}, \qquad \left(\frac23\right)^{x-2}=\frac94\left(\frac23\right)^x,$$

то

$$\left(t-\frac94\right)\left(t^2+\frac94t+\frac{81}{16}\right)>0.$$

Второй множитель всегда положителен, значит

$$t-\frac94>0,$$

то есть

$$\left(\frac23\right)^x>\frac94=\left(\frac32\right)^2.$$

Переходим к основанию $$\frac23<1$$:

$$\left(\frac23\right)^x>\left(\frac23\right)^{-2} \Rightarrow x<-2.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;-2).$$