Упр.13.29 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$3^{3x}-3^{2x+1}+3^{x+1}-1\ge 0$$;

   б) $$\left(\frac{1}{2}\right)^{3x}-9\left(\frac{1}{2}\right)^{2x}+27\left(\frac{1}{2}\right)^x-27<0$$;

   в) $$2^{3x}+15\cdot2^{2x}+75\cdot2^x+125\le 0$$;

   г) $$0{,}1^{3x}-3\cdot0{,}01^x+3\cdot0{,}1^x-1>0$$.

Положим $$t=3^x$$. Тогда $$3^{2x}=t^2,\quad 3^{3x}=t^3.$$

а)

$$3^{3x}-3^{2x+1}+3^{x+1}-1\ge 0$$

$$t^3-3t^2+3t-1\ge 0$$

$$\left(t-1\right)^3\ge 0$$

Так как функция $$u^3$$ возрастает, то

$$t-1\ge 0,\quad t\ge 1.$$

Возвращаясь к $$x$$, получаем

$$3^x\ge 1,\quad x\ge 0.$$

Ответ: $$x\in[0;+\infty).$$

б)

Положим $$t=\left(\frac12\right)^x.$$ Тогда $$\left(\frac12\right)^{2x}=t^2,\quad \left(\frac12\right)^{3x}=t^3.$$

$$\left(\frac12\right)^{3x}-9\left(\frac12\right)^{2x}+27\left(\frac12\right)^x-27<0$$

$$t^3-9t^2+27t-27<0$$

$$\left(t-3\right)^3<0$$

Следовательно,

$$t-3<0,\quad t<3.$$

Так как $$t=\left(\frac12\right)^x$$ и основание $$\frac12<1$$, то

$$\left(\frac12\right)^x<3 \iff x&gt{\log}_{\frac12}3.$$

Ответ: $$x\in\left({\log}_{\frac12}3;+\infty\right).$$

в)

Положим $$t=2^x.$$ Тогда $$2^{2x}=t^2,\quad 2^{3x}=t^3.$$

$$2^{3x}+15\cdot 2^{2x}+75\cdot 2^x+125\le 0$$

$$t^3+15t^2+75t+125\le 0$$

$$\left(t+5\right)^3\le 0$$

Отсюда

$$t+5\le 0,\quad t\le -5.$$

Но $$t=2^x>0$$ при любых $$x$$, значит решений нет.

Ответ: $$\varnothing.$$

г)

Положим $$t=0{,}1^x.$$ Тогда $$0{,}1^{2x}=t^2,\quad 0{,}1^{3x}=t^3.$$

$$0{,}1^{3x}-3\cdot 0{,}01^x+3\cdot 0{,}1^x-1>0$$

$$t^3-3t^2+3t-1>0$$

$$\left(t-1\right)^3>0$$

Следовательно,

$$t-1>0,\quad t>1.$$

Так как $$t=0{,}1^x$$ и $$0{,}1<1$$, то

$$0{,}1^x>1 \iff x<0.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;0).$$