Упр.13.28 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- 13.28. Решите неравенство:
а) $$\frac{5}{12x+143} \geq \frac{5}{12}(x+2)$$;
б) $$\frac{16x+42}{16x} \leq 22$$;
в) $$\frac{8}{11x+120} \leq \frac{8}{11}(x+2)$$;
г) $$\frac{5x+15}{5x} < 4$$.
а) Рассмотрим неравенство
$$\frac{5}{12x+143}\ge \frac{5}{12x+2}.$$
Так как числитель положителен, сравним знаменатели. При одинаковом положительном числителе больше та дробь, у которой знаменатель меньше:
$$12x+143\le 12x+2.$$
Но это невозможно, так как $$143>2.$$
Значит, решений нет.
б) $$\frac{16x+42}{16x}\le 22.$$
ОДЗ: $$x\ne 0.$$
Перенесём $$22$$ в левую часть:
$$\frac{16x+42}{16x}-22\le 0$$
$$\frac{16x+42-352x}{16x}\le 0$$
$$\frac{42-336x}{16x}\le 0$$
$$\frac{3-24x}{x}\le 0.$$
Критические точки: $$x=0$$ и $$x=\frac18.$$
По знакам дроби получаем:
$$x\in (-\infty;0)\cup \left[\frac18;+\infty\right).$$
в) $$\frac{8}{11x+120}\le \frac{8}{11x+2}.$$
Так как числитель положителен, сравним знаменатели:
$$11x+120\ge 11x+2.$$
Это верно при любом $$x$$, для которого выражения определены. Но нужно учесть ОДЗ:
$$11x+120\ne 0,\qquad 11x+2\ne 0.$$
То есть
$$x\ne -\frac{120}{11},\qquad x\ne -\frac{2}{11}.$$
Следовательно,
$$x\in \mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{120}{11},-\frac{2}{11}\right\}.$$
г) $$\frac{5x+15}{5x}<4.$$
ОДЗ: $$x\ne 0.$$
Преобразуем:
$$\frac{5x+15}{5x}-4<0$$
$$\frac{5x+15-20x}{5x}<0$$
$$\frac{15-15x}{5x}<0$$
$$\frac{3(1-x)}{x}<0.$$
Критические точки: $$x=0$$ и $$x=1.$$
По знакам дроби получаем:
$$x\in (-\infty;0)\cup (1;+\infty).$$
Ответ
а) решений нет; б) $$x\in (-\infty;0)\cup \left[\frac18;+\infty\right);$$ в) $$x\in \mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{120}{11},-\frac{2}{11}\right\};$$ г) $$x\in (-\infty;0)\cup (1;+\infty).$$
