Упр.13.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$3^{2x}-4\cdot3^x+3\leq0$$;
   б) $$5^{2x}+4\cdot5^x-5\geq0$$;
   в) $$0{,}2^{2x}-1{,}2\cdot0{,}2^x+0{,}2>0$$;
   г) $$\left(\frac{1}{7}\right)^{2x}+6\cdot\left(\frac{1}{7}\right)^x-7<0$$.

Положим в каждом пункте $$y=a^x$$. Тогда получаем квадратные неравенства относительно $$y$$ и учитываем, что для показательной функции $$a^x>0$$.

Ход решения

1. $$3^{2x}-4\cdot 3^x+3\le 0$$

   Пусть $$y=3^x$$, тогда

   $$y^2-4y+3\le 0$$

   $$\left(y-1\right)\left(y-3\right)\le 0$$

   Отсюда $$1\le y\le 3$$, то есть

   $$1\le 3^x\le 3$$

   Так как основание $$3>1$$, получаем

   $$0\le x\le 1$$

2. $$5^{2x}+4\cdot 5^x-5\ge 0$$

   Пусть $$y=5^x$$, тогда

   $$y^2+4y-5\ge 0$$

   $$\left(y+5\right)\left(y-1\right)\ge 0$$

   Отсюда $$y\le -5$$ или $$y\ge 1$$. Но $$5^x>0$$, значит подходит только

   $$5^x\ge 1$$

   Так как $$5>1$$, получаем

   $$x\ge 0$$

3. $$0{,}2^{2x}-1{,}2\cdot 0{,}2^x+0{,}2>0$$

   Пусть $$y=0{,}2^x$$, тогда

   $$y^2-1{,}2y+0{,}2>0$$

   Умножим на $$10$$:

   $$5y^2-6y+1>0$$

   $$\left(5y-1\right)\left(y-1\right)>0$$

   Отсюда $$y<0{,}2$$ или $$y>1$$, то есть

   $$0{,}2^x<0{,}2 \quad \text{или} \quad 0{,}2^x>1$$

   Так как $$0<0{,}2<1$$, получаем

   $$x>1 \quad \text{или} \quad x<0$$

4. $$\left(\frac17\right)^{2x}+6\left(\frac17\right)^x-7<0$$

   Пусть $$y=\left(\frac17\right)^x$$, тогда

   $$y^2+6y-7<0$$

   $$\left(y+7\right)\left(y-1\right)<0$$

   Отсюда $$-7<y<1$$. Так как $$y=\left(\frac17\right)^x>0$$, остаётся

   $$0<\left(\frac17\right)^x<1$$

   Поскольку $$0<\frac17<1$$, это возможно при

   $$x>0$$

Ответ

а) $$x\in[0;1]$$; б) $$x\in[0;+\infty)$$; в) $$x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty)$$; г) $$x\in(0;+\infty)$$.