Упр.13.25 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$7(2x+1)+7(2x+2)+7(2x+3)\geq57$$; б) $$2(4x-1)+2(4x-2)-2(4x-3)\leq160$$; в) $$100\cdot0{,}3(4x+2)-0{,}09^2x+5\cdot0{,}0081x<13$$; г) $$\frac{1}{16}(x+0{,}25)+\frac{1}{4}(2x+1)-\frac{1}{2}(4x+3)\leq\frac{5}{4}$$.

а) $$7^{2x+1}+7^{2x+2}+7^{2x+3}\ge 57$$

Вынесем $$7^{2x}$$ за скобки:

$$7^{2x}(7+49+343)\ge 57$$

$$7^{2x}\cdot 399\ge 57$$

$$7^{2x}\ge \frac{57}{399}=\frac{1}{7}$$

$$7^{2x}\ge 7^{-1}$$

Так как основание $$7>1$$, получаем:

$$2x\ge -1$$

$$x\ge -\frac12$$

б) $$2^{4x-1}+2^{4x-2}-2^{4x-3}\le 160$$

Вынесем $$2^{4x-3}$$ за скобки:

$$2^{4x-3}(2^2+2^1-1)\le 160$$

$$2^{4x-3}\cdot 5\le 160$$

$$2^{4x-3}\le 32=2^5$$

Так как основание $$2>1$$, имеем:

$$4x-3\le 5$$

$$4x\le 8$$

$$x\le 2$$

в) $$100\cdot 0{,}3^{4x+2}-0{,}09^{2x}+5\cdot 0{,}0081^x<13$$

Заметим, что $$0{,}09=0{,}3^2$$ и $$0{,}0081=0{,}3^4$$. Тогда

$$100\cdot 0{,}3^{4x}\cdot 0{,}3^2-0{,}3^{4x}+5\cdot 0{,}3^{4x}<13$$

$$0{,}3^{4x}(100\cdot 0{,}09-1+5)<13$$

$$0{,}3^{4x}\cdot 13<13$$

$$0{,}3^{4x}<1$$

Так как $$0<0{,}3<1$$, то неравенство выполняется при

$$4x>0$$

$$x>0$$

г) $$\left(\frac{1}{16}\right)^{x+0{,}25}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2x+1}-\left(\frac{1}{2}\right)^{4x+3}\le \frac54$$

Приведём всё к основанию $$\frac12$$:

$$\left(\frac12\right)^{4x+1}+\left(\frac12\right)^{4x+2}-\left(\frac12\right)^{4x+3}\le \frac54$$

Вынесем $$\left(\frac12\right)^{4x}$$ за скобки:

$$\left(\frac12\right)^{4x}\left(\frac12+\frac14-\frac18\right)\le \frac54$$

$$\left(\frac12\right)^{4x}\cdot \frac58\le \frac54$$

$$\left(\frac12\right)^{4x}\le 2$$

$$2^{-4x}\le 2^1$$

Так как основание $$2>1$$, получаем:

$$-4x\le 1$$

$$x\ge -\frac14$$

Ответ

а) $$x\in\left[-\frac12;+\infty\right)$$; б) $$x\in(-\infty;2]$$; в) $$x\in(0;+\infty)$$; г) $$x\in\left[-\frac14;+\infty\right)$$.