Упр.13.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Сколько целочисленных решений имеет неравенство:
   а) $$5(x^2-2x)\le125$$;
   б) $$\frac{1}{7}(2x^2-3x)\ge\frac{1}{49}$$;
   в) $$2(-x^2+8)>128$$;
   г) $$0{,}3(x^2-x)>0{,}09$$?

а) $$5(x^2-2x)\le 125$$

$$x^2-2x\le 25$$

$$x^2-2x-25\le 0$$

Найдём корни уравнения $$x^2-2x-25=0$$:

$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-25)=4+100=104$$

$$x_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{104}}{2}=1\pm \sqrt{26}$$

Тогда

$$1-\sqrt{26}\le x\le 1+\sqrt{26}$$

Целые решения: $$x=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5$$. Их $$10$$.

б) $$\frac17(2x^2-3x)\ge \frac1{49}$$

$$2x^2-3x\ge \frac17$$

$$14x^2-21x-1\ge 0$$

Найдём корни уравнения $$14x^2-21x-1=0$$:

$$D=(-21)^2-4\cdot 14\cdot(-1)=441+56=497$$

$$x_{1,2}=\frac{21\pm \sqrt{497}}{28}$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то неравенство выполняется вне промежутка между корнями. Целых решений бесконечно много.

в) $$2(-x^2+8)>128$$

$$-x^2+8>64$$

$$-x^2>56$$

$$x^2<-56$$

Это невозможно, значит целых решений нет.

Их $$0$$.

г) $$0{,}3(x^2-x)>0{,}09$$

$$x^2-x>0{,}3$$

$$10x^2-10x-3>0$$

Найдём корни уравнения $$10x^2-10x-3=0$$:

$$D=(-10)^2-4\cdot 10\cdot(-3)=100+120=220$$

$$x_{1,2}=\frac{10\pm \sqrt{220}}{20}=\frac{5\pm \sqrt{55}}{10}$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то неравенство выполняется при

$$x<\frac{5-\sqrt{55}}{10} \quad \text{или} \quad x>\frac{5+\sqrt{55}}{10}$$

Целые решения: $$x\le -1$$ и $$x\ge 1$$, то есть их бесконечно много.

Ответ

а) $$10$$; б) бесконечно много; в) $$0$$; г) бесконечно много.