Упр.13.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- Сколько натуральных чисел являются решениями неравенства:
а) $$8(-2x+8)>512$$;
б) $$\frac{1}{9}(8x-23)\geq\frac{1}{81}$$;
в) $$2(5x-7)\leq16$$;
г) $$0{,}1(4x-5)>0{,}001$$?
а) $$8^{-2x+8} > 512$$
Представим числа в виде степеней восьмёрки:
$$8^{-2x+8} > 8^3$$
Так как основание больше $$1$$, сравниваем показатели:
$$-2x+8 > 3$$
$$-2x > -5$$
$$x < 2{,}5$$
Натуральные решения: $$x=1,2$$. Их 2.
б) $$\left(\frac{1}{9}\right)^{8x-23} \ge \frac{1}{81}$$
Запишем правую часть как степень числа $$\frac{1}{9}$$:
$$\left(\frac{1}{9}\right)^{8x-23} \ge \left(\frac{1}{9}\right)^2$$
Так как основание $$\frac{1}{9}$$ лежит между $$0$$ и $$1$$, при сравнении показателей знак неравенства меняется:
$$8x-23 \le 2$$
$$8x \le 25$$
$$x \le 3{,}125$$
Натуральные решения: $$x=1,2,3$$. Их 3.
в) $$2^{5x-7} \le 16$$
Представим $$16$$ как степень двойки:
$$2^{5x-7} \le 2^4$$
Сравниваем показатели:
$$5x-7 \le 4$$
$$5x \le 11$$
$$x \le 2{,}2$$
Натуральные решения: $$x=1,2$$. Их 2.
г) $$0{,}1^{4x-5} > 0{,}001$$
Запишем числа в виде степеней десяти:
$$0{,}1^{4x-5} > 0{,}1^3$$
Так как основание $$0{,}1$$ меньше $$1$$, при сравнении показателей знак неравенства меняется:
$$4x-5 < 3$$
$$4x < 8$$
$$x < 2$$
Натуральное решение: $$x=1$$. Его 1.
Ответ: а) 2; б) 3; в) 2; г) 1.
