Упр.13.13 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$5^{x-1}\cdot 2^{x+2}>8\cdot 10^{x^2-3x+2}$$; б) $$3^{2x+1}\cdot 2^{2x-3}<81\cdot 6^{1-2x^2}$$.

а) $$5^{x-1}\cdot 2^{x+2} > 8\cdot 10^{x^2-3x+2}$$

Преобразуем левую часть:

$$5^{x-1}\cdot 2^{x+2}=5^{x-1}\cdot 2^{x-1}\cdot 2^3=8\cdot 10^{x-1}.$$

Тогда неравенство принимает вид

$$8\cdot 10^{x-1} > 8\cdot 10^{x^2-3x+2}.$$

Делим обе части на $$8$$:

$$10^{x-1} > 10^{x^2-3x+2}.$$

Так как основание $$10>1$$, сравниваем показатели:

$$x-1 > x^2-3x+2.$$

Переносим всё в одну сторону:

$$x^2-4x+3 < 0.$$

Разложим на множители:

$$x^2-4x+3=(x-1)(x-3).$$

Тогда

$$(x-1)(x-3) < 0,$$

откуда

$$1<x<3.$$

б) $$3^{2x+1}\cdot 2^{2x-3} < 81\cdot 6^{1-2x^2}$$

Преобразуем левую часть:

$$3^{2x+1}\cdot 2^{2x-3}=3\cdot 3^{2x}\cdot \frac{2^{2x}}{8}=\frac{3}{8}\cdot 6^{2x}.$$

Тогда

$$\frac{3}{8}\cdot 6^{2x} < 81\cdot 6^{1-2x^2}.$$

Так как $$81=3^4$$, а $$\frac{3}{8}=\frac{3^1}{2^3}$$, удобнее разделить обе части на $$81$$ и привести к одной степени:

$$6^{2x-3} < 6^{1-2x^2}.$$

Поскольку $$6>1$$, сравниваем показатели:

$$2x-3 < 1-2x^2.$$

Переносим всё в одну сторону:

$$2x^2+2x-4 < 0.$$

Делим на $$2$$:

$$x^2+x-2 < 0.$$

Разложим на множители:

$$x^2+x-2=(x+2)(x-1).$$

Следовательно,

$$(x+2)(x-1) < 0,$$

откуда

$$-2<x<1.$$

Ответ

а) $$x\in(1;3)$$; б) $$x\in(-2;1)$$.